Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\operatorname{sen}(n)}{n^{2}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\operatorname{sen}(n)}{n^{2}}
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a série
e precisamos decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de comparação com uma série-p de expoente
, que sabemos convergir.
Passo 2
Observamos que para todo
vale
,
logo
logo
Como o numerador é sempre positivo, temos
Passo 3
A série
é uma série-
com
, portanto converge. Pelo teste da comparação direta (termos não-negativos e
), concluímos que
também converge.
Resposta
A série é convergente.