Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\operatorname{sen}(n)}{n^{2}}

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série
sumn=1^infty3+sin(n)n^2
e precisamos decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de comparação com uma série-p de expoente 2, que sabemos convergir.

Passo 2

Observamos que para todo n vale
-1<=sin(n)<=1,
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2 ;=;3+(-1);<=;3+sin(n);<=;3+1;=;4
Como o numerador é sempre positivo, temos
0 < 3+sin(n)n^2;<=;4n^2

Passo 3

A série
sumn=1^infty4n^2
é uma série- p com p=2>1, portanto converge. Pelo teste da comparação direta (termos não-negativos e 3+sin(n)n^2<=4n^2), concluímos que
sumn=1^infty3+sin(n)n^2
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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