Determine f^{\prime}(a).
f(t)=t^{4}-3 t

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(t)=t^{4}-3t
e pede para determinar f^{\prime}(a), isto é, a derivada de f avaliada no ponto t=a.
Informações relevantes:
  • A variável independente é t.
  • A função é um polinômio simples: soma de t^{4} e -3t.
  • É necessário encontrar a expressão da derivada e então substituí-la em t=a.

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada que usamos para entender e justificar os passos dos cálculos. A derivada de f no ponto t é o limite
f^{\prime}(t)=\lim_{h\to0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}.
O que isso significa intuitivamente: a derivada mede a taxa de variação instantânea de f em t, ou a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto t. Aqui h é um incremento pequeno em t e fazemos h\to0 para obter a taxa instantânea.

Passo 3

Aplicar a definição de derivada à função dada. Primeiro calcule f(t+h):
f(t+h)=(t+h)^{4}-3(t+h).
Expandindo o termo (t+h)^{4} pelo binômio de Newton:
(t+h)^{4}=t^{4}+4t^{3}h+6t^{2}h^{2}+4t h^{3}+h^{4}.
Logo
f(t+h)=\bigl(t^{4}+4t^{3}h+6t^{2}h^{2}+4t h^{3}+h^{4}\bigr)-3t-3h.
Agora subtraímos f(t)=t^{4}-3t:
f(t+h)-f(t)=\bigl(t^{4}+4t^{3}h+6t^{2}h^{2}+4t h^{3}+h^{4}-3t-3h\bigr)-(t^{4}-3t).
Os termos t^{4} e -3t cancelam, sobrando
f(t+h)-f(t)=4t^{3}h+6t^{2}h^{2}+4t h^{3}+h^{4}-3h.

Passo 4

Divida por h e tome o limite quando h\to0:
\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=4t^{3}+6t^{2}h+4t h^{2}+h^{3}-3.
Ao fazer h\to0, os termos que têm fator h ou potências de h vão a zero. Portanto
f^{\prime}(t)=\lim_{h\to0}\bigl(4t^{3}+6t^{2}h+4t h^{2}+h^{3}-3\bigr)=4t^{3}-3.

Passo 5

Como checagem rápida (e método prático para provas), use as regras básicas de diferenciação:
  • Regra da soma/diferença: \bigl(u\pm v\bigr)^\prime = u^\prime \pm v^\prime.
  • Constante vezes função: (c\cdot u)^\prime = c\cdot u^\prime.
  • Regra da potência (caso inteiro positivo): \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
Aplicando:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{4}\bigr)=4t^{3},\qquad \frac{d}{dt}\bigl(-3t\bigr)=-3.
Somando:
f^{\prime}(t)=4t^{3}-3,
o mesmo resultado obtido pelo limite.

Passo 6

Finalmente, avaliar a derivada em t=a. Basta substituir t=a em f^{\prime}(t):
f^{\prime}(a)=4a^{3}-3.

Resposta

4a^{3}-3

Exercícios relacionados