Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para determinar
, isto é, a derivada de
avaliada no ponto
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A variável independente é
. - A função é um polinômio simples: soma de
e . - É necessário encontrar a expressão da derivada e então substituí-la em
.
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada que usamos para entender e justificar os passos dos cálculos. A derivada de
no ponto
é o limite
O que isso significa intuitivamente: a derivada mede a taxa de variação instantânea de
em
, ou a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Aqui
é um incremento pequeno em
e fazemos
para obter a taxa instantânea.
Passo 3
Aplicar a definição de derivada à função dada. Primeiro calcule
:
Expandindo o termo
pelo binômio de Newton:
Logo
Agora subtraímos
:
Os termos
e
cancelam, sobrando
Passo 4
Divida por
e tome o limite quando
:
Ao fazer
, os termos que têm fator
ou potências de
vão a zero. Portanto
Passo 5
Como checagem rápida (e método prático para provas), use as regras básicas de diferenciação:
- Regra da soma/diferença:
. - Constante vezes função:
. - Regra da potência (caso inteiro positivo):
.
Aplicando:
Somando:
o mesmo resultado obtido pelo limite.
Passo 6
Finalmente, avaliar a derivada em
. Basta substituir
em
: