Determine f.
f^{\prime}(t)=12+\sin (t), f(\pi)=7

Passo 1

O enunciado dá a derivada de uma função e um valor pontual e pede que a gente determine a própria função. Informações fornecidas:
f'(t)=12+\sin t
e
f(\pi)=7.
A pergunta é: determine f (ou seja, encontre uma expressão para f(t) que satisfaça essas duas condições).

Passo 2

Quando nos dão f'(t) e pedem f(t), o procedimento padrão é integrar f'(t) em relação a t. Integrar uma função é encontrar uma primitiva (ou antiderivada): uma função cuja derivada é a função que estamos integrando. Regras básicas que vamos usar:
  • A primitiva de uma constante k é kt (porque \dfrac{d}{dt}(kt)=k).
  • A primitiva de \sin t é -\cos t (porque \dfrac{d}{dt}(-\cos t)=\sin t).
    Toda primitiva vem acompanhada de uma constante arbitrária C, porque adicionar uma constante não altera a derivada.
Aplicando isso ao nosso caso:
\begin{aligned} f(t) &= \int \bigl(12+\sin t\bigr)\,dt \\\ &= \int 12\,dt + \int \sin t\,dt \\\ &= 12t - \cos t + C, \end{aligned}
onde C é uma constante real a determinar.

Passo 3

Agora usamos a condição inicial f(\pi)=7 para encontrar C. Substituímos t=\pi na expressão encontrada:
\begin{aligned} f(\pi) &= 12\pi - \cos\pi + C \\\ &= 12\pi - (-1) + C \quad\text{(pois \(\cos\pi=-1\))} \\ &= 12\pi + 1 + C. \end{aligned}
Como f(\pi)=7, temos
12\pi + 1 + C = 7.
Isolando C:
C = 7 - 12\pi - 1 = 6 - 12\pi.

Passo 4

Substituímos C na primitiva geral para obter a função f específica que satisfaz a condição inicial. Assim,
f(t)=12t - \cos t + 6 - 12\pi.
Podemos checar rapidamente: para t=\pi obtemos 12\pi - \cos\pi + 6 -12\pi = -(-1)+6 = 7, que coincide com a condição dada. Também, derivando f(t) obtemos 12+\sin t, portanto tudo bate certinho.

Resposta

f(t)=12t-\cos t+6-12\pi

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