Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a derivada de uma função e um valor pontual e pede que a gente determine a própria função. Informações fornecidas:
e
A pergunta é: determine
(ou seja, encontre uma expressão para
que satisfaça essas duas condições).
Passo 2
Quando nos dão
e pedem
, o procedimento padrão é integrar
em relação a
. Integrar uma função é encontrar uma primitiva (ou antiderivada): uma função cuja derivada é a função que estamos integrando. Regras básicas que vamos usar:
- A primitiva de uma constante
é (porque ). - A primitiva de
é (porque ).
Toda primitiva vem acompanhada de uma constante arbitrária, porque adicionar uma constante não altera a derivada.
Aplicando isso ao nosso caso:
onde
é uma constante real a determinar.
Passo 3
Agora usamos a condição inicial
para encontrar
. Substituímos
na expressão encontrada:
Como
, temos
Isolando
:
Passo 4
Substituímos
na primitiva geral para obter a função
específica que satisfaz a condição inicial. Assim,
Podemos checar rapidamente: para
obtemos
, que coincide com a condição dada. Também, derivando
obtemos
, portanto tudo bate certinho.