Determine f.
f^{\prime \prime}(x)=4 x, f(0)=5, f(1)=2

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede para determinar a função f:
  • Informação 1: a derivada segunda de f é \displaystyle f''(x)=4x.
  • Informação 2: condição inicial f(0)=5.
  • Informação 3: condição inicial f(1)=2.
Pergunta: encontrar explicitamente a função f(x) que satisfaça f''(x)=4x e as duas condições iniciais dadas.

Passo 2

Para obter f(x) a partir de f''(x) precisamos integrar duas vezes. Começamos encontrando f'(x) integrando \displaystyle f''(x)=4x.
Regra usada: a primitiva de \displaystyle x^n é \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1) e a integral é linear, ou seja, constantes podem sair da integral. Assim,
f'(x)=\int 4x\,dx.
Calculando a integral:
\int 4x\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2}.
Ao integrar aparece uma constante arbitrária de integração; chamamos essa constante de C_{1}. Portanto
f'(x)=2x^{2}+C_{1}.

Passo 3

Agora integramos f'(x) para obter f(x):
f(x)=\int (2x^{2}+C_{1})\,dx.
Usando linearidade da integral e a regra de potência:
\int 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{2}{3}x^{3},
e
\int C_{1}\,dx = C_{1}x.
Ao integrar surge uma nova constante de integração, que chamamos de C_{2}. Assim
f(x)=\frac{2}{3}x^{3}+C_{1}x+C_{2}.

Passo 4

Aplicamos a condição f(0)=5 para encontrar uma das constantes. Substituindo x=0 na expressão de f:
f(0)=\frac{2}{3}\cdot 0^{3}+C_{1}\cdot 0 + C_{2}=C_{2}.
Como f(0)=5, segue que
C_{2}=5.

Passo 5

Aplicamos agora a condição f(1)=2. Substituindo x=1 na fórmula geral com C_{2}=5:
f(1)=\frac{2}{3}\cdot 1^{3}+C_{1}\cdot 1 + 5 = \frac{2}{3}+C_{1}+5.
Como f(1)=2, temos a equação
\frac{2}{3}+C_{1}+5=2.

Passo 6

Resolvendo a equação para C_{1}. Primeiro somamos os termos constantes do lado esquerdo:
\frac{2}{3}+5 = \frac{2}{3}+\frac{15}{3}=\frac{17}{3}.
Portanto a equação fica
\frac{17}{3}+C_{1}=2.
Escrevendo 2 como \displaystyle \frac{6}{3} e isolando C_{1}:
C_{1}=\frac{6}{3}-\frac{17}{3}=-\frac{11}{3}.

Passo 7

Substituímos C_{1}=-\dfrac{11}{3} e C_{2}=5 na expressão geral de f(x). Assim
f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{11}{3}x+5.
Opcionalmente podemos escrever com denominador comum:
f(x)=\frac{2x^{3}-11x+15}{3}.

Passo 8

Verificação rápida (importante na prova): diferenciando duas vezes a função encontrada:
f'(x)=2x^{2}-\frac{11}{3},\qquad f''(x)=4x,
o que coincide com a condição dada. E f(0)=5, f(1)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{11}{3}+5=2, portanto está tudo certo.

Resposta

f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{11}{3}x+5

Exercícios relacionados