Determine
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede para determinar a função
:
- Informação 1: a derivada segunda de
é . - Informação 2: condição inicial
. - Informação 3: condição inicial
.
Pergunta: encontrar explicitamente a função
que satisfaça
e as duas condições iniciais dadas.
Passo 2
Para obter
a partir de
precisamos integrar duas vezes. Começamos encontrando
integrando
.
Regra usada: a primitiva de
é
(para
) e a integral é linear, ou seja, constantes podem sair da integral. Assim,
Calculando a integral:
Ao integrar aparece uma constante arbitrária de integração; chamamos essa constante de
. Portanto
Passo 3
Agora integramos
para obter
:
Usando linearidade da integral e a regra de potência:
e
Ao integrar surge uma nova constante de integração, que chamamos de
. Assim
Passo 4
Aplicamos a condição
para encontrar uma das constantes. Substituindo
na expressão de
:
Como
, segue que
Passo 5
Aplicamos agora a condição
. Substituindo
na fórmula geral com
:
Como
, temos a equação
Passo 6
Resolvendo a equação para
. Primeiro somamos os termos constantes do lado esquerdo:
Portanto a equação fica
Escrevendo
como
e isolando
:
Passo 7
Substituímos
e
na expressão geral de
. Assim
Opcionalmente podemos escrever com denominador comum:
Passo 8
Verificação rápida (importante na prova): diferenciando duas vezes a função encontrada:
o que coincide com a condição dada. E
,
, portanto está tudo certo.