Determine f^{\prime}(x) para f(x)=\ln \left(x^{2}+4 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(x^{2}+4x\bigr).
Aqui usamos o conteúdo de regra da cadeia para funções do tipo f(x)=\ln(u(x)), cuja derivada é
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 2

Defina a função interna
u(x)=x^{2}+4x.
Usando regra de potência e derivada de soma, obtemos
u'(x)=2x+4.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à função f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), temos
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{2x+4}{x^{2}+4x}.
Para simplificar, fatoramos numerador e denominador:
f'(x)=\frac{2(x+2)}{x(x+4)}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x+4}{x^{2}+4x} =\frac{2(x+2)}{x(x+4)}.

Exercícios relacionados