Determine f^{\prime}(x) para f(x)=\log _{2}\left(x^{3}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\log_{2}\bigl(x^{3}+1\bigr). O conteúdo envolvido é a derivação de logaritmos de base arbitrária e a aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Lembrando que, para u(x)>0 e a>0, a\neq1, vale
\frac{d}{dx}\log_{a}\bigl(u(x)\bigr) =\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}.
Aqui temos a=2 e u(x)=x^{3}+1.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x)=x^{3}+1. Como é um polinômio,
u'(x)=3x^{2}.

Passo 4

Substituindo u(x), u'(x) e \ln a na fórmula do logaritmo, obtemos
f'(x) =\frac{3x^{2}}{(x^{3}+1)\,\ln 2}.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^{2}}{(x^{3}+1)\,\ln 2}.

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