Determine F(s) ou f(t), conforme indicado.
L(3 t+1) U(t-1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
F(s) = L(3t+1),U(t-1)
Usaremos o teorema do segundo deslocamento (ou teorema da bandeira) para funções multiplicadas por U(t-a).

Passo 2

Reescrevemos
(3t+1),U(t-1)
no formato g(t-1),U(t-1). Note que, para t>=1, colocamos u=t-1 e temos
3t+1 = 3,(u+1)+1 = 3u + 4
Logo definimos
g(u) = 3u + 4,
e então
(3t+1),U(t-1) = g(t-1),U(t-1)

Passo 3

Pelo teorema do segundo deslocamento, se f(t)=g(t-a),U(t-a) então
Lf(t) = e^-a s,G(s),
onde
G(s) = Lg(t) = integral0^inftye^-s t,g(t),dt
Aqui a=1.

Passo 4

Calculamos
G(s) = integral0^inftye^-s t(3t+4),dt
Sabemos que
integral0^inftyt,e^-s t,dt = 1s^2, integral0^inftye^-s t,dt = 1s
Logo
G(s) = 3cdot1s^2 ;+; 4cdot1s = 3s^2 + 4s

Passo 5

Aplicando o deslocamento a=1:
F(s) = e^-1cdot s,G(s) = e^-sl(3s^2 + 4sr)

Resposta

F(s) = e^-sl(3s^2 + 4sr)

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