Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
2 y^prime prime+20 y^prime+51 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2,y'' + 20,y' + 51,y = 0,
sujeita às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=0.
O conteúdo envolve aplicar L,cdot,, usar as fórmulas
Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando L em cada termo e usando Y(s)=Ly(t), temos
2l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r) +20l(sY(s)-y(0)r) +51,Y(s)=0
Substituindo y(0)=2 e y'(0)=0,
2l(s^2Y(s)-2sr)+20l(sY(s)-2r)+51Y(s)=0

Passo 3

Expandindo e agrupando os termos em Y(s):
2s^2Y(s)-4s +20sY(s)-40+51Y(s)=0 ;Longrightarrow; Y(s)l(2s^2+20s+51r)=4s+40
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Y(s)=4s+402s^2+20s+51 =4(s+10)2l(s^2+10s+25,5r) =2(s+10)(s^2+10s+25)+0,5
Completemos o quadrado no denominador:
s^2+10s+25= (s+5)^2, s^2+10s+25,5=(s+5)^2+tfrac12,
portanto
Y(s)=2(s+10)(s+5)^2+tfrac12

Passo 4

Escrevendo o numerador em função de (s+5):
s+10=(s+5)+5 ;Longrightarrow; Y(s) =2(s+5)+5(s+5)^2+tfrac12 =2s+5(s+5)^2+tfrac12 +10(s+5)^2+tfrac12

Passo 5

Para inverter, note que com b=tfrac1raiz2 valem as fórmulas
L^-1!ls+5(s+5)^2+b^2r =e^-5tcos(bt), L^-1!lb(s+5)^2+b^2r =e^-5tsin(bt)
Escrevendo
10(s+5)^2+tfrac12 =10b,b(s+5)^2+b^2 =10raiz2;b(s+5)^2+b^2,
temos
y(t) =2,e^-5tcos!l(tfractraiz2r) +10raiz2;e^-5tsin!l(tfractraiz2r)

Resposta

y(t)=e^-5tl[2cos!l(tfractraiz2r) +10raiz2;sin!l(tfractraiz2r)r]

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