Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo x^2+(y-1)^2=4 da seguinte maneira:
a) Uma vez no sentido horário, a partir de (2,1)
b) Três vezes no sentido antihorário, a partir de (2,1)
c) Meia volta no sentido antihorário, a partir de (0,3)

Passo 1

O enunciado pede equações paramétricas para movimentação ao longo do círculo de centro (0,1) e raio 2, cuja equação cartesiana é
x^2 + (y-1)^2 = 4
Sabemos que uma parametrização padrão é
x = 0 + 2costheta, y = 1 + 2sintheta,
onde, ao aumentar theta, percorremos o círculo no sentido anti-horário, e ao diminuir theta, no sentido horário. Vamos usar essa ideia para cada caso.

Passo 2

Para (a) queremos uma volta completa no sentido horário começando em (2,1). Esse ponto corresponde a theta=0. Para fazer exatamente uma volta no sentido horário, theta deve diminuir de 0 a -2pi. Definindo um parâmetro tin[0,1] e
theta(t) = -2pi,t,
obtemos
x(t) = 2cosl(-2pi tr), y(t) = 1 + 2sinl(-2pi tr), 0 <= t <= 1

Passo 3

Para (b) queremos três voltas completas no sentido anti-horário a partir de (2,1), novamente theta=0 no início. Cada volta é 2pi, logo três voltas são 6pi. Com tin[0,1] e
theta(t) = 6pi,t,
temos
x(t) = 2cosl(6pi tr), y(t) = 1 + 2sinl(6pi tr), 0 <= t <= 1

Passo 4

Para (c) queremos meia volta no sentido anti-horário a partir de (0,3). O ponto (0,3) corresponde a theta=pi/2. Uma meia volta é pi, então definimos para tin[0,1]:
theta(t) = pi2 + pi,t,
e assim
x(t) = 2cos!l(tfracpi2 + pi tr), y(t) = 1 + 2sin!l(tfracpi2 + pi tr), 0 <= t <= 1

Resposta

(a) x(t)=2cos(-2pi t),;y(t)=1+2sin(-2pi t),;0<= t<=1.
(b) x(t)=2cos(6pi t),;y(t)=1+2sin(6pi t),;0<= t<=1.
(c) x(t)=2cosl(tfracpi2+pi tr),;y(t)=1+2sinl(tfracpi2+pi tr),;0<= t<=1.

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