Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo
da seguinte maneira:
a) Uma vez no sentido horário, a partir de
b) Três vezes no sentido antihorário, a partir de
c) Meia volta no sentido antihorário, a partir de
a) Uma vez no sentido horário, a partir de
b) Três vezes no sentido antihorário, a partir de
c) Meia volta no sentido antihorário, a partir de
Passo 1
O enunciado pede equações paramétricas para movimentação ao longo do círculo de centro
e raio
, cuja equação cartesiana é
Sabemos que uma parametrização padrão é
onde, ao aumentar
, percorremos o círculo no sentido anti-horário, e ao diminuir
, no sentido horário. Vamos usar essa ideia para cada caso.
Passo 2
Para (a) queremos uma volta completa no sentido horário começando em
. Esse ponto corresponde a
. Para fazer exatamente uma volta no sentido horário,
deve diminuir de
a
. Definindo um parâmetro
e
obtemos
Passo 3
Para (b) queremos três voltas completas no sentido anti-horário a partir de
, novamente
no início. Cada volta é
, logo três voltas são
. Com
e
temos
Passo 4
Para (c) queremos meia volta no sentido anti-horário a partir de
. O ponto
corresponde a
. Uma meia volta é
, então definimos para
:
e assim
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)