Questão 10: Encontrar as raízes das seguintes equações usando o dispositivo de Briot-Ruffini:
x^5-3 x^4-x^3+11 x^2-12 x+4

Passo 1

Temos o polinômio
P(x)=x^5-3x^4-x^3+11x^2-12x+4
de grau 5 e queremos encontrar todas as raízes usando o dispositivo de Briot-Ruffini (divisão sintética). Vamos usar o Teorema de Gauss (teste de raízes racionais) para gerar candidatos, aplicar successive divisões sintéticas e, ao final, resolver a equação quadrática remanescente.

Passo 2

Pelo teste de raízes racionais, os candidatos são os divisores de 4:
pm1,pm2,pm4.
Calculando P(1):
P(1)=1-3-1+11-12+4=0,
logo x=1 é raiz. Dividindo P(x) por (x-1) via Briot-Ruffini, com coeficientes 1,,-3,,-1,,11,,-12,,4, obtemos o polinômio de grau 4
Q1(x)=x^4-2x^3-3x^2+8x-4

Passo 3

Repetimos o teste em Q1(x). Como
Q1(1)=1-2-3+8-4=0,
temos novamente raiz x=1. Dividindo Q1(x) por (x-1), com coeficientes 1,,-2,,-3,,8,,-4, resulta
Q2(x)=x^3-x^2-4x+4

Passo 4

Em Q2(x) testamos mais uma vez x=1:
Q2(1)=1-1-4+4=0,
ou seja, x=1 é raiz de multiplicidade 3. Dividindo Q2(x) por (x-1), com coeficientes 1,,-1,,-4,,4, chega-mos ao polinômio de segundo grau
Q3(x)=x^2-4

Passo 5

Basta agora resolver
Q3(x)=x^2-4=0
que dá
x^2=4Longrightarrow x=pm2

Resposta

As raízes de P(x) são
x=1(mu<iplicidade 3), x=2, x=-2

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