determine (F(s)) ou (f(t)), conforme indicado.
\mathscr{L}\left{\operatorname{sen} t \mathscr{U}\left(t-\frac{\pi}{2}\right)\right}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
\sin t \;\mathscr{U}\!\Bigl(t - \tfrac{\pi}{2}\Bigr).
O conteúdo é o segundo teorema do deslocamento no tempo (ou teorema do “sinal de grau-heaviside”). Para aplicá-lo, precisamos reescrever a função no formato f(t-a)\,\mathscr{U}(t-a).

Passo 2

Definimos a = \tfrac{\pi}{2} e reescrevemos
\sin t \;\mathscr{U}\!\bigl(t - a\bigr) = \sin\bigl((t - a) + a\bigr)\;\mathscr{U}\!\bigl(t - a\bigr).
Assim a parte não nula para t\ge a é f(t-a) com
f(u) = \sin(u + a)\quad(u = t-a).

Passo 3

Pelo segundo teorema do deslocamento no tempo, se
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s),
então
\mathcal{L}\bigl\{f(t - a)\,\mathscr{U}(t - a)\bigr\}(s) = e^{-a s}\,F(s).

Passo 4

Precisamos então de F(s)=\mathcal{L}\{\sin(t + a)\}(s). Usando
\sin(t+a)=\sin t\cos a+\cos t\sin a
e as transformadas
\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^2+1},\qquad \mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^2+1},
obtém-se
F(s) =\frac{\cos a}{s^2+1}+\frac{s\,\sin a}{s^2+1} =\frac{s\,\sin a+\cos a}{s^2+1}.

Passo 5

Substituindo a=\tfrac{\pi}{2} (onde \sin a=1 e \cos a=0) e multiplicando por e^{-a s}, resulta
\mathcal{L}\{\sin t\,\mathscr{U}\!(t-\tfrac{\pi}{2})\}(s) = e^{-\frac{\pi}{2}s}\,\frac{s\cdot1+0}{s^2+1} = \frac{s\,e^{-\frac{\pi s}{2}}}{s^2+1}.

Resposta

\mathcal{L}\{\sin t\,\mathscr{U}\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\}(s) = \frac{s\,e^{-\frac{\pi s}{2}}}{s^2+1}.

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