Escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Determine a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=\left\{\begin{array}{lr}0, & 0 \leq t<1 \\\ t^{2}, & t \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)= \begin{cases} 0,&0\le t<1,\\\ t^2,&t\ge1, \end{cases}
e pede (a) escrevê-la em termos de função degrau unitário e (b) encontrar sua transformada de Laplace. O conteúdo é a representação com a função de Heaviside u(t-a) e o uso do segundo teorema de deslocamento para a Laplace.

Passo 2

Como u(t-1)=0 para t<1 e u(t-1)=1 para t\ge1, podemos escrever
f(t)=t^2\,u(t-1).

Passo 3

Para aplicar o segundo teorema de deslocamento, reescrevemos t^2 como função de \tau=t-1. Note que
t^2=(\tau+1)^2,\quad\tau=t-1,
então definimos
g(\tau)=(\tau+1)^2.
Assim
f(t)=u(t-1)\,g(t-1).

Passo 4

Calculamos a transformada de Laplace de g(t):
g(t)=(t+1)^2 = t^2 + 2t + 1,
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G(s)=\mathcal{L}\{t^2\} + 2\,\mathcal{L}\{t\} + \mathcal{L}\{1\} =\frac{2}{s^3} + 2\cdot\frac{1}{s^2} + \frac{1}{s} =\frac{s^2+2s+2}{s^3}.

Passo 5

Pelo segundo teorema de deslocamento,
\mathcal{L}\{u(t-1)\,g(t-1)\} =e^{-s\cdot1}\,G(s) =e^{-s}\,\frac{s^2+2s+2}{s^3}.

Resposta

f(t)=t^2\,u(t-1), \qquad F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{s^2+2s+2}{s^3}\,e^{-s}.

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