determine (F(s)) ou (f(t)), conforme indicado.
\mathscr{L}{-1}\left{\frac{e{-2 s}}{s^{2}(s-1)}\right}

Passo 1

O enunciado nos pede a transformada inversa de Laplace
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-2s}}{s^{2}(s-1)}\Bigr\}.
Vamos usar o Teorema do Retardo, que afirma que
\mathscr{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(t-a)\,u(t-a),
onde f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\} e u(t) é a função degrau.

Passo 2

Isolamos o fator de atraso e definimos
F(s)=\frac{1}{s^{2}(s-1)}.
Para encontrar f_{0}(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}, fazemos frações parciais:
\frac{1}{s^{2}(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s-1}.

Passo 3

Multiplicando por s^{2}(s-1) e comparando coeficientes (ou avaliando em s=0,1) obtemos
1=A\,s(s-1)+B(s-1)+C\,s^{2} \quad\Longrightarrow\quad A=-1,\;B=-1,\;C=1.

Passo 4

Substituindo de volta,
\frac{1}{s^{2}(s-1)} =-\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s-1}.
Aplicando inversa de Laplace em cada termo:
\mathscr{L}^{-1}\Bigl(-\tfrac{1}{s}\Bigr)=-1, \quad \mathscr{L}^{-1}\Bigl(-\tfrac{1}{s^{2}}\Bigr)=-t, \quad \mathscr{L}^{-1}\Bigl(\tfrac{1}{s-1}\Bigr)=e^{t}.
Logo
f_{0}(t)=e^{t}-t-1.

Passo 5

Pelo Teorema do Retardo com a=2:
f(t)=\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{e^{-2s}F(s)\Bigr\} =f_{0}(t-2)\,u(t-2) =\bigl(e^{\,t-2}-(t-2)-1\bigr)\,u(t-2).
Simplificando dentro do parêntese:
f(t)=\bigl(e^{\,t-2}-t+1\bigr)\,u(t-2).

Resposta

f(t)=\bigl(e^{\,t-2}-t+1\bigr)u(t-2).

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