Questão 4 (3 pts)
Considere o seguinte sistema que modela o comportamento de duas espécies x(t), y(t), a primeira sendo presa da segunda:
\begin{aligned} x^{\prime}(t) & =x(t)\left(\frac{3}{2}-\frac{y(t)}{2}\right) \\\ y^{\prime}(t) & =y(t)\left(-\frac{1}{2}+x(t)\right) \end{aligned}
(1) Classifique as singularidades do sistema.
(2) Verifique que os eixos contém soluções, o que significam estas soluções em termos do modelo?
(3) Fazendo \frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)} mostre que o sistema é equivalente a uma equação diferencial de ordem 1 separável.
(4) Resolva a equação diferencial do item anterior e deduza que existe uma função h(x, y) tal que as soluções do sistema são as curvas de nível de h(x, y).
(5) Mostre que a matriz Hessiana de h(x, y) é positiva definida e portanto, h(x, y) é uma função convexa.
(6) Verifique que uma das singularidades é ponto crítico de h que é mínimo absoluto da função.
(7) Conclua que as curvas de nível de h são todas fechadas. Como interpreta isso em termos do modelo?

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x' = x\Bigl(\tfrac32 - \tfrac{y}{2}\Bigr),\\\ y' = y\bigl(-\tfrac12 + x\bigr), \end{cases}
que é um modelo presa–predador de Lotka–Volterra com parâmetros dados. Precisamos (1) achar e classificar as singularidades (pontos de equilíbrio), (2) mostrar que os eixos são soluções invariantes e interpretar, (3) obter a equação separável \tfrac{dy}{dx}, (4) integrá-la e encontrar a primeira integral h(x,y), (5) verificar convexidade de h via Hessiana, (6) mostrar que um equilíbrio é mínimo absoluto de h e (7) concluir que as curvas de nível são fechadas (órbitas periódicas).

Passo 2

Para achar os pontos de equilíbrio, imponho x'=0 e y'=0. Assim
x'=0\implies x=0\quad\text{ou}\quad\tfrac32-\tfrac y2=0\\ (\Rightarrow y=3),
y'=0\implies y=0\quad\text{ou}\quad -\tfrac12+x=0\\ (\Rightarrow x=\tfrac12).
As interseções dão quatro pontos:
(0,0), (0,3), (\tfrac12,0) e (\tfrac12,3).
O Jacobiano é
J(x,y)= \begin{pmatrix} \tfrac32-\tfrac y2 & -\tfrac x2\\[6pt] y & -\tfrac12+x \end{pmatrix}.
Avaliando:
  • Em (0,0): J=\begin{pmatrix}3/2&0\\\ 0&-1/2\end{pmatrix} ⇒ autovalores 3/2>0, -1/2<0: ponto de sela hiperbólico.
  • Em (0,3): J=\begin{pmatrix}0&0\\\ 3&-1/2\end{pmatrix} ⇒ autovalores 0 e -1/2: ponto não-hiperbólico degenerado.
  • Em (\tfrac12,0): J=\begin{pmatrix}3/2&-1/4\\\ 0&0\end{pmatrix} ⇒ autovalores 3/2 e 0: não-hiperbólico.
  • Em (\tfrac12,3): J=\begin{pmatrix}0&-1/4\\\ 3&0\end{pmatrix} ⇒ caracteriza-se por autovalores puramente imaginários \pm i\sqrt{3}/2: centro linear.]

Passo 3

Note que se x(0)=0 então x'(t)=0 e x(t)\equiv0; similarmente, se y(0)=0 então y(t)\equiv0. Ou seja, os eixos x=0 e y=0 são soluções invariantes. Biologicamente, x=0 é a extinção da presa (resta só o predador, que decai exponencialmente) e y=0 é a extinção do predador (presa cresce exponencialmente).

Passo 4

Calculamos
\frac{dy}{dx}=\frac{y'}{x'}=\frac{y\,(-\tfrac12+x)}{\,x\,(\tfrac32-\tfrac y2)\,}.
Isto dá a equação separável
\frac{\tfrac32-\tfrac y2}{y}\,dy = \frac{-\tfrac12+x}{x}\,dx.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(\tfrac32\frac1y-\tfrac12\Bigr)dy = \int\Bigl(-\tfrac12\frac1x+1\Bigr)dx.
Fazendo as integrais:
\tfrac32\ln y-\tfrac y2 = -\tfrac12\ln x + x + C.
Reorganizando em forma de constante de movimento:
\ln x + 3\ln y -2x - y = C',
logo podemos definir
h(x,y)=2x + y - \ln x - 3\ln y,
cujo valor é constante ao longo de cada solução. As curvas de nível h(x,y)=\text{const} são as órbitas no plano.

Passo 6

O Hessiano de h é
H(h)= \begin{pmatrix} \partial^2h/\partial x^2 & 0\\[4pt] 0 & \partial^2h/\partial y^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/x^2 & 0\\[4pt] 0 & 3/y^2 \end{pmatrix},
que é positivo definido para x>0,y>0. Logo h é estritamente convexa nesse domínio.]

Passo 7

Os pontos críticos de h satisfazem
\partial h/\partial x = 2 - \frac1x = 0\implies x=\tfrac12, \qquad \partial h/\partial y = 1 - \frac3y = 0\implies y=3.
Assim (\tfrac12,3) é o único ponto crítico de h e, por convexidade, é seu mínimo absoluto.

Resposta

(1) Equilíbrios em (0,0) (sela hiperbólico), (0,3) e (\tfrac12,0) (não-hiperbólicos degenerados) e (\tfrac12,3) (centro).
(2) Os eixos x=0 e y=0 são soluções invariantes; representam extinção de presa ou predador.
(3) \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y(-\tfrac12+x)}{x(\tfrac32-\tfrac y2)}, separável.
(4) Integração leva à primeira integral h(x,y)=2x+y-\ln x-3\ln y= constante.
(5) Hessiano de h é \diag(1/x^2,3/y^2), positivo definido ⇒ h convexa.
(6) (\tfrac12,3) é ponto crítico de h e mínimo absoluto.
(7) Como h é convexa e nível = constante formam conjuntos compactos, todas as curvas de nível são fechadas ⇒ órbitas periódicas (populações oscilam indefinidamente).

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