(1) Classifique as singularidades do sistema.
(2) Verifique que os eixos contém soluções, o que significam estas soluções em termos do modelo?
(3) Fazendo \frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)} mostre que o sistema é equivalente a uma equação diferencial de ordem 1 separável.
(4) Resolva a equação diferencial do item anterior e deduza que existe uma função h(x, y) tal que as soluções do sistema são as curvas de nível de h(x, y).
(5) Mostre que a matriz Hessiana de h(x, y) é positiva definida e portanto, h(x, y) é uma função convexa.
(6) Verifique que uma das singularidades é ponto crítico de h que é mínimo absoluto da função.
(7) Conclua que as curvas de nível de h são todas fechadas. Como interpreta isso em termos do modelo?
que é um modelo presa–predador de Lotka–Volterra com parâmetros dados. Precisamos (1) achar e classificar as singularidades (pontos de equilíbrio), (2) mostrar que os eixos são soluções invariantes e interpretar, (3) obter a equação separável \tfrac{dy}{dx}, (4) integrá-la e encontrar a primeira integral h(x,y), (5) verificar convexidade de h via Hessiana, (6) mostrar que um equilíbrio é mínimo absoluto de h e (7) concluir que as curvas de nível são fechadas (órbitas periódicas).
Passo 2
Para achar os pontos de equilíbrio, imponho x'=0 e y'=0. Assim
Em (0,0): J=\begin{pmatrix}3/2&0\\\ 0&-1/2\end{pmatrix} ⇒ autovalores 3/2>0, -1/2<0: ponto de sela hiperbólico.
Em (0,3): J=\begin{pmatrix}0&0\\\ 3&-1/2\end{pmatrix} ⇒ autovalores 0 e -1/2: ponto não-hiperbólico degenerado.
Em (\tfrac12,0): J=\begin{pmatrix}3/2&-1/4\\\ 0&0\end{pmatrix} ⇒ autovalores 3/2 e 0: não-hiperbólico.
Em (\tfrac12,3): J=\begin{pmatrix}0&-1/4\\\ 3&0\end{pmatrix} ⇒ caracteriza-se por autovalores puramente imaginários \pm i\sqrt{3}/2: centro linear.]
Passo 3
Note que se x(0)=0 então x'(t)=0 e x(t)\equiv0; similarmente, se y(0)=0 então y(t)\equiv0. Ou seja, os eixos x=0 e y=0 são soluções invariantes. Biologicamente, x=0 é a extinção da presa (resta só o predador, que decai exponencialmente) e y=0 é a extinção do predador (presa cresce exponencialmente).
Assim (\tfrac12,3) é o único ponto crítico de h e, por convexidade, é seu mínimo absoluto.
Resposta
(1) Equilíbrios em (0,0) (sela hiperbólico), (0,3) e (\tfrac12,0) (não-hiperbólicos degenerados) e (\tfrac12,3) (centro).
(2) Os eixos x=0 e y=0 são soluções invariantes; representam extinção de presa ou predador.
(3) \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y(-\tfrac12+x)}{x(\tfrac32-\tfrac y2)}, separável.
(4) Integração leva à primeira integral h(x,y)=2x+y-\ln x-3\ln y= constante.
(5) Hessiano de h é \diag(1/x^2,3/y^2), positivo definido ⇒ h convexa.
(6) (\tfrac12,3) é ponto crítico de h e mínimo absoluto.
(7) Como h é convexa e nível = constante formam conjuntos compactos, todas as curvas de nível são fechadas ⇒ órbitas periódicas (populações oscilam indefinidamente).