Questão 2 (3 pts)
(1) Ache a solução geral do sistema
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right) X(t)
(2) Ache uma solução particular do sistema
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right) X(t)+\binom{t}{0}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema linear em \mathbb{R}^2 com
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
(1) A solução geral do homogêneo
X'(t)=A\,X(t),
que envolve expo­nen­cial matricial ou valores próprios.
(2) Uma solução particular do não homogêneo
X'(t)=A\,X(t)+\begin{pmatrix}t\\\ 0\end{pmatrix},
usando método de coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para o homogêneo, calculamos os valores próprios de A resolvendo
\det(A-\lambda I)=\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\\ -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2+1=0,
logo
\lambda_{1,2}=2\pm i.

Passo 3

Usando a forma real da solução com rotação, temos
e^{At}=e^{2t}\Bigl(I\cos t + \begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}\sin t\Bigr).
Logo, a solução geral do homogêneo é
X_h(t) =e^{2t}\Bigl[C_1\!\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}\cos t + C_1\!\begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}\sin t + C_2\!\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}\cos t + C_2\!\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}\sin t\Bigr],
o que se reescreve de modo mais direto como
X_h(t) =e^{2t}\begin{pmatrix} C_1\cos t + C_2\sin t\\\ C_2\cos t - C_1\sin t \end{pmatrix},
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para o não homogêneo, tentamos uma solução particular polinomial de grau 1 em t:
X_p(t)=\begin{pmatrix}a\,t+b\c\,t+d\end{pmatrix}.
Então
X_p'(t)=\begin{pmatrix}a\c\end{pmatrix}, \quad A\,X_p(t) =\begin{pmatrix}(2a+c)t+(2b+d)\\(-a+2c)t+(-b+2d)\end{pmatrix}.
Impondo
X_p'(t)=A\,X_p(t)+\begin{pmatrix}t\\\ 0\end{pmatrix},
igualamos coeficientes de t e termos constantes.)

Passo 5

Comparando as componentes, obtemos o sistema para a,b,c,d:
\begin{cases} 2a+c+1=0,\\\\ 2b+d=-\tfrac{2}{5},\\\\ -a+2c=0,\\\\ -b+2d=c. \end{cases}
Resolvendo dá
a=-\tfrac{2}{5},\quad b=-\tfrac{3}{25},\quad c=-\tfrac{1}{5},\quad d=-\tfrac{4}{25}.
Portanto uma solução particular é
X_p(t) =\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{5}\,t-\tfrac{3}{25}\\[6pt] -\tfrac{1}{5}\,t-\tfrac{4}{25} \end{pmatrix}.]

Resposta

(1) A solução geral do homogêneo é
X_h(t) =e^{2t}\begin{pmatrix} C_1\cos t + C_2\sin t\\\ C_2\cos t - C_1\sin t \end{pmatrix},
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.
(2) Uma solução particular do não homogêneo é
X_p(t) =\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{5}\,t-\tfrac{3}{25}\\[4pt] -\tfrac{1}{5}\,t-\tfrac{4}{25} \end{pmatrix}.]

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