Questão 2 (3 pts)
(1) Ache a solução geral do sistema
(2) Ache uma solução particular do sistema
(1) Ache a solução geral do sistema
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o sistema linear em
com
(1) A solução geral do homogêneo
que envolve exponencial matricial ou valores próprios.
(2) Uma solução particular do não homogêneo
(2) Uma solução particular do não homogêneo
usando método de coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para o homogêneo, calculamos os valores próprios de
resolvendo
logo
Passo 3
Usando a forma real da solução com rotação, temos
Logo, a solução geral do homogêneo é
o que se reescreve de modo mais direto como
com
.
Passo 4
Para o não homogêneo, tentamos uma solução particular polinomial de grau 1 em
:
Então
Impondo
igualamos coeficientes de
e termos constantes.)
Passo 5
Comparando as componentes, obtemos o sistema para
:
Resolvendo dá
Portanto uma solução particular é
Resposta
(1) A solução geral do homogêneo é
com
.
(2) Uma solução particular do não homogêneo é
(2) Uma solução particular do não homogêneo é