Questão 1(2,0) : Resolva os sistemas de EDOs abaixo
\left\{\begin{aligned} x^{\prime} & =3 x+12 y \\\ y^{\prime} & =x-y \end{aligned}\right.
sujeito à condição inicial x(0)=10 e y(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes
\begin{cases} x' = 3x + 12y,\\\ y' = x - y, \end{cases}
sujeito a x(0)=10 e y(0)=-1.
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares usando autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
onde
A = \begin{pmatrix}3 & 12\\[6pt]1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para encontrar os autovalores \lambda, calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}3-\lambda & 12\\[3pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(-1-\lambda) - 12 = \lambda^2 - 2\lambda - 15.
As raízes são
\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2} \;\longrightarrow\; \lambda_1 = 5,\quad \lambda_2 = -3.]

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Para \lambda_1=5, resolvemos (A - 5I)v=0:
\begin{pmatrix}-2 & 12\\[3pt]1 & -6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = 0 \quad\Rightarrow\quad -2v_1 + 12v_2 = 0 \;\longrightarrow\; v_1 = 6v_2,
podendo escolher v^{(1)} = (6,1)^T.
Para \lambda_2=-3, resolvemos (A + 3I)v=0:
\begin{pmatrix}6 & 12\\[3pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = 0 \quad\Rightarrow\quad 6v_1 + 12v_2 = 0 \;\longrightarrow\; v_1 = -2v_2,
podendo escolher v^{(2)} = (-2,1)^T.]

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
\begin{pmatrix}x(t)\\[3pt]y(t)\end{pmatrix} = C_1\,\begin{pmatrix}6\\\ 1\end{pmatrix}e^{5t} + C_2\,\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}e^{-3t}.]

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais em t=0\): \[\begin{cases} x(0) = 6C_1 - 2C_2 = 10,\\[3pt] y(0) = C_1 + C_2 = -1. \end{cases}
Da segunda equação C_1 = -1 - C_2\]. Substituindo na primeira: \[6(-1 - C_2) - 2C_2 = 10 \;\longrightarrow\; -6 - 8C_2 = 10 \;\longrightarrow\; C_2 = -2,\] portanto \(C_1 = -1 - (-2) = 1.]

Resposta

x(t) = 6e^{5t} + 4e^{-3t},
y(t) = e^{5t} - 2e^{-3t}.

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