Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto especificado. Onde f não está explícita, considere z=f(x, y).
\cos (x) e^{z}+\sin (y) e^{z}=x y+1,(\pi / 2,0,0).

Passo 1

O enunciado define implicitamente a superfície
\cos(x)\,e^{z} + \sin(y)\,e^{z} = x\,y + 1
e pede o plano tangente a esse gráfico no ponto \bigl(x_{0},y_{0},z_{0}\bigr) = \bigl(\tfrac{\pi}{2},0,0\bigr). Como a relação é dada de forma implícita, vamos usar a função de nível
F(x,y,z) = \cos(x)\,e^{z} + \sin(y)\,e^{z} - x\,y - 1
e saber que o plano tangente satisfaz
F_x(x_{0},y_{0},z_{0})(x - x_{0}) \;+\; F_y(x_{0},y_{0},z_{0})(y - y_{0}) \;+\; F_z(x_{0},y_{0},z_{0})(z - z_{0}) \;=\; 0.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de F:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[\cos(x)e^{z} - x\,y\bigr] = -\sin(x)\,e^{z} \;-\; y,
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[\sin(y)e^{z} - x\,y\bigr] = \cos(y)\,e^{z} \;-\; x,
F_z = \frac{\partial}{\partial z}\bigl[\bigl(\cos(x)+\sin(y)\bigr)e^{z}\bigr] = \bigl(\cos(x)+\sin(y)\bigr)e^{z}.

Passo 3

Agora avaliamos em \bigl(\tfrac{\pi}{2},0,0\bigr):
F_x\bigl(\tfrac{\pi}{2},0,0\bigr) = -\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)e^{0} - 0 = -1,
F_y\bigl(\tfrac{\pi}{2},0,0\bigr) = \cos(0)e^{0} - \tfrac{\pi}{2} = 1 - \tfrac{\pi}{2},
F_z\bigl(\tfrac{\pi}{2},0,0\bigr) = \bigl(\cos\tfrac{\pi}{2} + \sin0\bigr)e^{0} = 0.

Passo 4

Substituindo no formato do plano tangente
(-1)\,(x - \tfrac{\pi}{2}) \;+\;\bigl(1 - \tfrac{\pi}{2}\bigr)\,(y - 0) \;+\;0\,(z - 0) \;=\;0
e simplificando, temos
-(x - \tfrac{\pi}{2}) + \bigl(1 - \tfrac{\pi}{2}\bigr)\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - \tfrac{\pi}{2} - \bigl(1 - \tfrac{\pi}{2}\bigr)y = 0.
Multiplicando por 2 para limpar frações,
2x - \pi - (2 - \pi)\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + (\pi - 2)\,y = \pi.

Resposta

O plano tangente é
2x + (\pi - 2)\,y \;=\; \pi.

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