Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto especificado. Onde f não está explícita, considere z=f(x, y).
f(x, y)=\ln (x y)+x \sin \left(\frac{\pi}{4}(x+y)\right),(1,1,1).

Passo 1

Temos o gráfico da função
z = f(x,y),\quad f(x,y) = \ln(xy) + x \,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}(x+y)\Bigr),
e queremos o plano tangente em (x_0,y_0,z_0)=(1,1,1). O plano tangente a uma superfície z=f(x,y) em (x_0,y_0,z_0) é dado por
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) \;+\; f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0),
então precisamos calcular as derivadas parciais f_x e f_y.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Usamos
– para \ln(xy): \partial_x\ln(xy)=1/x e \partial_y\ln(xy)=1/y,
– para x\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}(x+y)\bigr) aplicamos regra do produto e cadeia.
f_x(x,y) = \frac{1}{x} + \sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}(x+y)\Bigr) + x\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}(x+y)\Bigr)\,\frac{\pi}{4},
f_y(x,y) = \frac{1}{y} + x\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}(x+y)\Bigr)\,\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Avaliaremos em (x,y)=(1,1). Note que \tfrac{\pi}{4}(1+1)=\tfrac{\pi}{2},
\sin(\pi/2)=1 e \cos(\pi/2)=0.
f_x(1,1) = 1 + 1 + 1\cdot\frac{\pi}{4}\cdot 0 = 2, \qquad f_y(1,1) = 1 + 1\cdot\frac{\pi}{4}\cdot 0 = 1.

Passo 4

Substituindo em
z - 1 = 2\,(x - 1) + 1\,(y - 1),
temos
z - 1 = 2x - 2 + y - 1 \;\Longrightarrow\; z = 2x + y - 2.

Resposta

A equação do plano tangente é
\boxed{z = 2x + y - 2.}

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