Determine f(x) nos exercícios as seguir
f^prime(x)=1+1x^2, x>0 ; f(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f(x) cuja derivada é f'(x)=1+1x^2 para x>0 e que satisfaz a condição inicial f(1)=1. O conteúdo envolve integração de funções elementares e aplicação de condição inicial.

Passo 2

Para obter f(x), integramos f'(x). Lembrando que integral1,dx=x e integral x^-2,dx=-x^-1, temos:
f(x)=integrall(1+1x^2r)dx=integral1,dx+integral x^-2,dx=x-1x+C

Passo 3

Usando a condição inicial f(1)=1, substituímos x=1 na expressão de f(x):
1-1+C=1
Logo, C=1 e portanto
f(x)=x-1x+1

Resposta

f(x)=x-\frac1{x}+1

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