Determine f(x) nos exercícios as seguir
f^prime(x)=3 raizx-1raizx ; f(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f(x) sabendo que f'(x)=3raizx-tfrac1raizx e que f(1)=2. O conteúdo envolvido é a integração de funções potenciais e a determinação de constantes de integração usando condições iniciais.

Passo 2

Para integrar f'(x)=3x^1/2-x^-1/2, usamos a regra integral x^n,dx=x^n+1n+1+C:
integral3x^1/2,dx=3cdotx^3/23/2=2x^3/2,
integral -x^-1/2,dx=-x^1/21/2=-2x^1/2

Passo 3

Assim, obtemos a primitiva geral
f(x)=2x^3/2-2x^1/2+C

Passo 4

Para achar C, usamos a condição f(1)=2:
f(1)=2cdot1^3/2-2cdot1^1/2+C=2-2+C=C=2

Resposta

f(x)=2x^3/2-2x^1/2+2

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