Encontre as derivadas das funûÏûçes
y=x sin xx+1

Passo 1

A função dada é y=x,sin xx+1. O conteúdo envolvido aqui é derivação de quociente (regra do quociente) e derivação de produto (regra do produto). Vamos precisar lembrar as fórmulas:
• Regra do produto: se u(x)=f(x)g(x), então u'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
• Regra do quociente: se y=u(x)v(x), então y'=v(x)u'(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2.

Passo 2

Primeiro identifiquemos o numerador u(x)=x,sin x e o denominador v(x)=x+1. Vamos calcular u'(x) usando regra do produto:
u'(x)=ddx(x)cdotsin x + xcdotddx(sin x)=1cdotsin x + xcdotcos x=sin x + xcos x

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente:
y'=v(x),u'(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2=(x+1)(sin x + xcos x)-xsin xcdot1(x+1)^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
(x+1)(sin x + xcos x)-xsin x= xsin x + sin x + x^2cos x + xcos x - xsin x
Os termos xsin x se cancelam, sobrando
sin x + x^2cos x + xcos x

Passo 5

Fatorando x^2cos x + xcos x como x(x+1)cos x, o numerador fica:
x(x+1)cos x + sin x
Portanto, a derivada é
y'=x(x+1)cos x + sin x(x+1)^2

Resposta

y'=dfracx(x+1)cos x+sin x(x+1)^2

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