Determine f(x) nos exercícios as seguir
f^prime(x)=2+raiz[5]x^3 ; f(1)=3

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos achar a função f(x) sabendo que f′(x)=2+√[5]{x3}=2+x{3/5} e que f(1)=3. O conteúdo envolve integração de potências e uso de condição inicial.

Passo 2

Vamos integrar f′(x) usando a regra de potência ∫x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C. Separamos em dois termos:

Passo 3

Colocamos em bloco a integral de f′(x):
f(x)=integrall(2+x^3/5r),dx=integral2,dx+integral x^3/5,dx=2x+x^8/58/5+C=2x+58x^8/5+C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial f(1)=3 para determinar C:

Passo 5

Calculamos f(1):
f(1)=2cdot1+58cdot1^8/5+C=2+58+C
Queremos f(1)=3, logo
2+58+C=3implies C=3-2-58=1-58=38

Resposta

f(x)=2x+58x^8/5+38

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