Determine f(x) nos exercícios as seguir
f^prime(x)=sin x-2 raizx ; f(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para descobrir a função f(x) sabendo que f(0)=0 e que . Isso é um problema de integrar a derivada e usar a condição inicial.

Passo 2

Para encontrar f(x), escrevemos
f(x)=integral f'(x),dx=integralsin x,dx -2integral x^1/2,dx + C

Passo 3

Agora aplicamos a regra de integração:
integralsin x,dx=-cos x
e a regra do polinômio:
integral x^1/2,dx=23x^3/2
Logo,
f(x)=-cos x -2cdot23x^3/2+C=-cos x -43x^3/2+C

Passo 4

Por fim, usamos a condição f(0)=0:
f(0)=-cos0 -0 +C=-1 +C=0implies C=1
Assim, encontramos a constante de integração.

Resposta

f(x)=1-cos x-tfrac43x^3/2

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