ointC 2 z+1z^2+z d z;
|z|=2

Passo 1

Temos a integral de contorno ointC 2z+1z^2+z,dz ao longo do círculo |z|=2. O conteúdo envolvido é o Teorema dos Resíduos: para resolver, vamos identificar os polos isolados dentro de C, calcular seus resíduos e aplicar ointC f(z),dz = 2pi i sum Res.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para achar os polos de f(z)=2z+1z(z+1):
z^2+z = z(z+1)
Os polos simples são em z=0 e z=-1. Ambos satisfazem |z|<2, logo estão dentro de C.

Passo 3

Para o polo simples em z=0, usamos
Resl(f,0r)=limzto0 zcdot2z+1z(z+1)
Calculando,
Resl(f,0r)=limzto02z+1z+1=2cdot0+10+1=1 .

Passo 4

Para o polo simples em z=-1, usamos
Resl(f,-1r)=limzto-1(z+1)cdot2z+1z(z+1)
Logo,
Resl(f,-1r)=limzto-12z+1z=2(-1)+1-1=1 .

Passo 5

Somando os resíduos e aplicando o Teorema dos Resíduos:
ointC 2z+1z^2+z,dz = 2pi il(1+1r)=4pi i .

Resposta

4pi i

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