Determine
nos exercícios as seguir
$f^{\prime}(x)=\sin x-\sqrt[5]{x^{2}}$
$f^{\prime}(x)=\sin x-\sqrt[5]{x^{2}}$
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma primitiva f(x) sabendo que f '(x) = sin x – ⁿ√(x²) (raízes e potências), ou seja, precisamos fazer uma integração indefinida de sin x e de x^(2/5).
Passo 2
Para integrar sin x usamos a antiderivada padrão: ∫ sin x dx = –cos x + C₁. Isso vem da ideia de que a derivada de –cos x é sin x.
Passo 3
Reescrevendo ⁿ√(x²) como x^(2/5), calculamos ∫ x^(2/5) dx. Pela regra ∫ x^m dx = x^(m+1)/(m+1) temos m+1 = 2/5 + 1 = 7/5, então
Passo 4
Juntando as duas partes e acrescentando a constante de integração geral C, obtemos f(x) = –cos x – (5/7) x^(7/5) + C.
Resposta
f(x) = –cos x – \frac{5}{7} x^{7/5} + C