Um polinômio f(x) in Q[x] dividido por x-1 tem resto 2 e dividido po x+4 tem resto 4 . Calcule o resto da divisão de f(x) por x^2+3 x-4.

Passo 1

O enunciado diz que temos um polinômio f(x)inQ[x] tal que ao dividir por x-1 o resto é 2 (logo f(1)=2) e ao dividir por x+4 o resto é 4 (logo f(-4)=4). Ele pede o resto da divisão de f(x) por
x^2+3x-4,
que se fatoriza como (x-1)(x+4). Para isso vamos usar o fato de que o resto de uma divisão por um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau no máximo 1.

Passo 2

Seja
r(x)=ax+b
o resto da divisão de f(x) por x^2+3x-4. Então pelos valores em x=1 e x=-4 devemos ter
r(1)=f(1)=2 e r(-4)=f(-4)=4

Passo 3

Substituindo em r(x)=ax+b obtemos o sistema
acdot1 + b = 2, acdot(-4) + b = 4

Passo 4

Do sistema acima fazemos
(-4a + b) - (a + b) = 4 - 2 Longrightarrow -5a = 2 Longrightarrow a = -tfrac25
Em seguida,
b = 2 - a = 2 + tfrac25 = tfrac125
Logo
r(x) = -tfrac25x + tfrac125

Resposta

O resto da divisão de f(x) por x^2+3x-4 é
-25x + 125

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