Determine se f(x) é periódica. Se for, encontre o seu período fundamental T.
(f) f(x) = sen(x/2) + cos(x/3);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é periódica. Se for, também precisamos encontrar o período fundamental . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como encontrar o período usando as funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, uma função é periódica se, depois de certo intervalo , ela repete seus valores. Ou seja, para todo . No nosso caso, temos duas funções trigonométricas: o seno e o cosseno, cada uma com seu período próprio.

Passo 3

Vamos achar os períodos individuais de cada termo. Para , a fórmula geral do período do seno é divididos pelo coeficiente de . Então, o período é:

Passo 4

Já para , usamos a mesma ideia. O período do cosseno também é dividido pelo coeficiente de :

Passo 5

Agora, para que a função seja periódica, precisamos encontrar um que seja múltiplo comum de e . Isso significa que deve ser o menor múltiplo comum (MMC) de e .

Passo 6

Vamos calcular o MMC de 4 e 6. Os múltiplos de 4 são 4, 8, 12, 16, … e os de 6 são 6, 12, 18, … O menor múltiplo comum é 12. Assim, o MMC de e é .

Resposta

Sim, a função é periódica, e o período fundamental é .

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