Determine se
é periódica. Se for, encontre o seu período fundamental
.
(f)
;
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
é periódica. Se for, também precisamos encontrar o período fundamental
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como encontrar o período usando as funções trigonométricas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, uma função é periódica se, depois de certo intervalo
, ela repete seus valores. Ou seja,
para todo
. No nosso caso, temos duas funções trigonométricas: o seno e o cosseno, cada uma com seu período próprio.
Passo 3
Vamos achar os períodos individuais de cada termo. Para
, a fórmula geral do período do seno é
divididos pelo coeficiente de
. Então, o período é:
Passo 4
Já para
, usamos a mesma ideia. O período do cosseno também é
dividido pelo coeficiente de
:
Passo 5
Agora, para que a função
seja periódica, precisamos encontrar um
que seja múltiplo comum de
e
. Isso significa que
deve ser o menor múltiplo comum (MMC) de
e
.
Passo 6
Vamos calcular o MMC de 4 e 6. Os múltiplos de 4 são 4, 8, 12, 16, … e os de 6 são 6, 12, 18, … O menor múltiplo comum é 12. Assim, o MMC de
e
é
.
Resposta
Sim, a função
é periódica, e o período fundamental
é
.