Sejam
e
séries de termos positivos.
Prove que se
e
diverge, então
diverge.
Prove que se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas séries,
e
, onde todos os termos são positivos. A ideia é provar que, se o limite de
quando
vai para o infinito é infinito, ou seja,
, e se a série
diverge (não tem soma finita), então a série
também diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, limites e critérios de comparação para convergência ou divergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série
é dita convergente se a soma de seus termos tende a um número finito quando
vai para o infinito. Caso contrário, ela diverge. No nosso caso, sabemos que
diverge, ou seja, não converge para nenhum número finito.
Passo 3
Agora, o limite
nos diz que, para termos grandes de
, o termo
é muito maior que
. Isso significa que, conforme
cresce,
cresce mais rápido que
.
Passo 4
Vamos usar o critério de comparação para séries. Esse critério nos permite comparar duas séries com termos positivos para determinar a convergência ou divergência. Especificamente, se
é divergente e
para todo
grande o suficiente, então
também diverge.
Passo 5
No nosso caso, como
, isso implica que existem valores de
a partir dos quais
. Portanto, para
suficientemente grande, temos
.
Passo 6
Aplicando o critério de comparação mencionado, já que
diverge e
para
grande, concluímos que
também diverge.
Resposta
Portanto, demonstramos que se
e a série
diverge, então a série
também diverge.