Sejam sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn séries de termos positivos.
Prove que se lim n infty anbn=infty e sumn=1^infty bn diverge, então sumn=1^infty an diverge.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas séries, sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn, onde todos os termos são positivos. A ideia é provar que, se o limite de anbn quando n vai para o infinito é infinito, ou seja, lim n infty anbn=infty, e se a série sumn=1^infty bn diverge (não tem soma finita), então a série sumn=1^infty an também diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, limites e critérios de comparação para convergência ou divergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série sum an é dita convergente se a soma de seus termos tende a um número finito quando n vai para o infinito. Caso contrário, ela diverge. No nosso caso, sabemos que sum bn diverge, ou seja, não converge para nenhum número finito.

Passo 3

Agora, o limite lim n infty anbn=infty nos diz que, para termos grandes de n, o termo an é muito maior que bn. Isso significa que, conforme n cresce, an cresce mais rápido que bn.

Passo 4

Vamos usar o critério de comparação para séries. Esse critério nos permite comparar duas séries com termos positivos para determinar a convergência ou divergência. Especificamente, se sum bn é divergente e an >= bn para todo n grande o suficiente, então sum an também diverge.

Passo 5

No nosso caso, como lim n infty anbn=infty, isso implica que existem valores de n a partir dos quais an > bn. Portanto, para n suficientemente grande, temos an >= bn.

Passo 6

Aplicando o critério de comparação mencionado, já que sum bn diverge e an >= bn para n grande, concluímos que sum an também diverge.

Resposta

Portanto, demonstramos que se lim n infty anbn=infty e a série sumn=1^infty bn diverge, então a série sumn=1^infty an também diverge.

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