Determine se as séries a seguir são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso está relacionado com o estudo de séries numéricas, mais especificamente sobre os tipos de convergência que uma série pode ter. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional.
Convergência Absoluta: Se a série dos valores absolutos converge, então a série original também converge absolutamente.
Convergência Condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a convergência é condicional.
Divergente: Se a série original não converge, então ela é divergente.
Nosso objetivo é verificar primeiramente se a série é absolutamente convergente.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão para a série dos valores absolutos:
O Teste da Razão diz que para a série L = limn to infty | an+1an | , calculamos:
Se , a série converge absolutamente. Se , diverge. Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular an = 2^n(n!)^2(2 n)! :
an+1an = 2^n+1((n+1)!)^2(2(n+1))! times (2n)!2^n(n!)^2 = 2 times (n+1)^2(2n+2)(2n+1)
Então,
an+1an = 2 times (n+1)^24n^2 + 6n + 2
Simplificando,
L = limn to infty 2 times (n+1)^24n^2 + 6n + 2 = 2 times n^2 + 2n + 14n^2 + 6n + 2
Agora, vamos calcular o limite quando L = 2 times 1 + 2n + 1n^24 + 6n + 2n^2 to 2 times 14 = 12 tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por :
Passo 5
Como , pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge. Isso significa que a série original converge absolutamente.