Resolva a equação diferencial (1+x) dy - y dx = 0.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede: resolver a equação diferencial . Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar . Dividindo ambos os lados por :
Dividindo por :
Então:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial que pode ser escrita como:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando o método de separação de variáveis.

Passo 4

Vamos separar as variáveis y e x. Para isso, dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais são:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver para y, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos simplificar para uma nova constante K (já que é apenas uma constante positiva):

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde K é uma constante real.

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