Resolva a equação diferencial
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede: resolver a equação diferencial
. Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar
. Dividindo ambos os lados por
:
Dividindo por
:
Então:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial que pode ser escrita como:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando o método de separação de variáveis.
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais são:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos simplificar
para uma nova constante
(já que
é apenas uma constante positiva):
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.