Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem: lim (x, y) (0,2) e^x+y-2+1-yx y.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Precisamos investigar o limite da função quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos analisar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar desse ponto e ver o que acontece com o limite em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples: manter e^x+2-2 + 1 - 2x cdot 2 = e^x - 12x e deixar e^x approx 1 + x + x^22 se aproximar de 0. Substituindo (1 + x + x^22) - 12x = x + x^222x = 1 + x22 na função, temos:
Sabemos que, quando se aproxima de 0, pode ser aproximado pela expansão de Taylor:
Substituindo isso na expressão, ficamos com:
Quando tende a 0, o termo desaparece, e o limite se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho: manter e^0+y-2 + 1 - y0 cdot y = e^y-2 + 1 - y0 e deixar se aproximar de 2. Substituindo na função, temos:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, o que nos dá uma forma indeterminada . Para resolver isso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital ou analisar mais a fundo. Mas, nesse caso específico, percebemos que a aproximação pode ser complicada e talvez não nos dê uma conclusão clara sobre o limite.

Passo 4

Vamos então tentar um caminho diferente, mais geral: e^x + (2 + m x) - 2 + 1 - (2 + m x)x (2 + m x) = e^x + m x - 1 - m xx (2 + m x) , onde e^x(1 + m) - 1 - m xx (2 + m x) é uma constante. Substituindo na função, temos:
e^x(1 + m) approx 1 + x(1 + m) + (x(1 + m))^22
Simplificando:
1 + x(1 + m) + (x(1 + m))^22 - 1 - m xx (2 + m x) = x + m x + x^2 (1 + m)^22 - m xx (2 + m x) = x + x^2 (1 + m)^22x (2 + m x)
Expandindo 1 + x (1 + m)^222 + m x usando a série de Taylor:
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Substituindo na expressão:
Simplificando mais:
Quando tende a 0, os termos com desaparecem, ficando:

Resposta

Após analisar diferentes caminhos para se aproximar de , constatamos que o limite da função é sempre . Portanto, o limite existe e é igual a .

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