Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Precisamos investigar o limite da função
quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos analisar diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar desse ponto e ver o que acontece com o limite em cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um caminho simples: manter
e deixar
se aproximar de 0. Substituindo
na função, temos:
Sabemos que, quando
se aproxima de 0,
pode ser aproximado pela expansão de Taylor:
Substituindo isso na expressão, ficamos com:
Quando
tende a 0, o termo
desaparece, e o limite se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho: manter
e deixar
se aproximar de 2. Substituindo
na função, temos:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, o que nos dá uma forma indeterminada
. Para resolver isso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital ou analisar mais a fundo. Mas, nesse caso específico, percebemos que a aproximação pode ser complicada e talvez não nos dê uma conclusão clara sobre o limite.
Passo 4
Vamos então tentar um caminho diferente, mais geral:
, onde
é uma constante. Substituindo na função, temos:
Simplificando:
Expandindo
usando a série de Taylor:
Substituindo na expressão:
Simplificando mais:
Quando
tende a 0, os termos com
desaparecem, ficando:
Resposta
Após analisar diferentes caminhos para
se aproximar de
, constatamos que o limite da função
é sempre
. Portanto, o limite existe e é igual a
.