Determine f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y)
f(x, y)=\left(y^{2} \operatorname{tg} x\right)^{-4 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais f_{x}(x,y) e f_{y}(x,y) da função
f(x,y)=\left(y^{2}\operatorname{tg} x\right)^{-4/3}.
Informações dadas e observações iniciais:
\text{a função é }f(x,y)=(y^{2}\operatorname{tg} x)^{-4/3}.çãé
\text{Variáveis: }x\text{ e }y.á
\text{Domínio necessário (para a função estar bem definida com expoente negativo): }y^{2}\operatorname{tg} x \neq 0,íáçã
ou seja, \;y\neq 0 e \operatorname{tg} x \neq 0 (porque y^{2}\operatorname{tg} x=0 tornaria a potência com expoente negativo indefinida).

Passo 2

Vamos reescrever a função definindo uma função auxiliar para aplicar a regra da cadeia de forma clara. Seja
u(x,y)=y^{2}\operatorname{tg} x.
Então
f(x,y)=u(x,y)^{-4/3}.
Regra da cadeia (para derivadas parciais): se f(x,y)=g(u(x,y)) com g diferenciável em u, então
f_{x} = g'(u)\cdot u_{x},\qquad f_{y}=g'(u)\cdot u_{y}.
Aqui g(u)=u^{-4/3}, então primeiro calculamos g'(u).

Passo 3

Derivada de g(u)=u^{-4/3} em relação a u:
g'(u) = -\frac{4}{3}u^{-7/3}.
Explicação curta: usamos a regra da potência d(u^{a})/du = a u^{a-1}. Aqui a=-4/3, então a-1=-7/3.

Passo 4

Calculamos u_{x}. Lembre-se que, para derivada parcial em relação a x, tratamos y como constante. Como u(x,y)=y^{2}\operatorname{tg} x e y^{2} é constante em relação a x,
u_{x} = y^{2}\cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{tg} x).
Derivada da tangente: \dfrac{d}{dx}(\operatorname{tg} x)=\dfrac{1}{\cos^{2}x} (às vezes escrito \operatorname{sec}^{2}x). Portanto
u_{x} = y^{2}\cdot \frac{1}{\cos^{2}x}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter f_{x}:
f_{x} = g'(u)\cdot u_{x} = \left(-\frac{4}{3}u^{-7/3}\right)\cdot \left(y^{2}\frac{1}{\cos^{2}x}\right).
Substituímos u=y^{2}\operatorname{tg} x:
f_{x} = -\frac{4}{3}\,y^{2}\frac{1}{\cos^{2}x}\,(y^{2}\operatorname{tg} x)^{-7/3}.
Agora simplificamos as potências de y e de \operatorname{tg} x. Note que
(y^{2}\operatorname{tg} x)^{-7/3}=y^{-14/3}(\operatorname{tg} x)^{-7/3}.
Multiplicando por y^{2}=y^{6/3} y^{6/3}y^{-14/3}=y^{-8/3}. Assim
f_{x} = -\frac{4}{3}\,y^{-8/3}\,(\operatorname{tg} x)^{-7/3}\,\frac{1}{\cos^{2}x}.
Podemos reescrever essa expressão em termos de \sin e \cos para uma forma alternativa: usando (\operatorname{tg} x)^{-7/3}=(\sin x/\cos x)^{-7/3}=\cos^{7/3}x/\sin^{7/3}x e dividindo por \cos^{2}x obtemos
f_{x} = -\frac{4}{3}\,y^{-8/3}\,\frac{\cos^{1/3}x}{\sin^{7/3}x}.

Passo 6

Agora calculamos f_{y}. Primeiro u_{y}. Para derivada parcial em relação a y, tratamos x como constante:
u_{y} = \frac{d}{dy}(y^{2}\operatorname{tg} x) = 2y\operatorname{tg} x,
porque \operatorname{tg} x é constante em relação a y.
Aplicando a regra da cadeia:
f_{y} = g'(u)\cdot u_{y} = \left(-\frac{4}{3}u^{-7/3}\right)\cdot \left(2y\operatorname{tg} x\right).
Substituindo u=y^{2}\operatorname{tg} x:
f_{y} = -\frac{8}{3}\,y\,\operatorname{tg} x\,(y^{2}\operatorname{tg} x)^{-7/3}.
Simplificamos as potências: (y^{2}\operatorname{tg} x)^{-7/3}=y^{-14/3}(\operatorname{tg} x)^{-7/3}. Multiplicando por y=y^{3/3} y^{3/3}y^{-14/3}=y^{-11/3}. Multiplicando \operatorname{tg} x por (\operatorname{tg} x)^{-7/3} (\operatorname{tg} x)^{-4/3}. Portanto
f_{y} = -\frac{8}{3}\,y^{-11/3}\,(\operatorname{tg} x)^{-4/3}.
Forma alternativa em termos de \sin e \cos: (\operatorname{tg} x)^{-4/3}=(\sin x/\cos x)^{-4/3}=\cos^{4/3}x/\sin^{4/3}x, então
f_{y} = -\frac{8}{3}\,y^{-11/3}\,\frac{\cos^{4/3}x}{\sin^{4/3}x}.

Resposta

f_{x}(x,y)=-\dfrac{4}{3}\,y^{-8/3}\,(\operatorname{tg} x)^{-7/3}\,\dfrac{1}{\cos^{2}x}
f_{y}(x,y)=-\dfrac{8}{3}\,y^{-11/3}\,(\operatorname{tg} x)^{-4/3}

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