Determine
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
da função
Informações dadas e observações iniciais:
ou seja,
e
(porque
tornaria a potência com expoente negativo indefinida).
Passo 2
Vamos reescrever a função definindo uma função auxiliar para aplicar a regra da cadeia de forma clara. Seja
Então
Regra da cadeia (para derivadas parciais): se
com
diferenciável em
, então
Aqui
, então primeiro calculamos
.
Passo 3
Derivada de
em relação a
:
Explicação curta: usamos a regra da potência
. Aqui
, então
.
Passo 4
Calculamos
. Lembre-se que, para derivada parcial em relação a
, tratamos
como constante. Como
e
é constante em relação a
,
Derivada da tangente:
(às vezes escrito
). Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter
:
Substituímos
:
Agora simplificamos as potências de
e de
. Note que
Multiplicando por
dá
. Assim
Podemos reescrever essa expressão em termos de
e
para uma forma alternativa: usando
e dividindo por
obtemos
Passo 6
Agora calculamos
. Primeiro
. Para derivada parcial em relação a
, tratamos
como constante:
porque
é constante em relação a
.
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
:
Simplificamos as potências:
. Multiplicando por
dá
. Multiplicando
por
dá
. Portanto
Forma alternativa em termos de
e
:
, então