Seja z=f(x, y). Determine as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y}.
f(x, y)=x e^{3 y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de z=f(x,y), ou seja:
\n
  • Encontrar \dfrac{\partial z}{\partial x}.
    \n
  • Encontrar \dfrac{\partial z}{\partial y}.
    \n
    A função dada é \;f(x,y)=x e^{3y}. Essas são todas as informações que temos.

Passo 2

Definição e ideia para \dfrac{\partial z}{\partial x}:\n
A derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo. Formalmente,
\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Aqui tratamos y como uma constante durante a diferenciação.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial z}{\partial x}:\n
Calcule f(x+h,y):
f(x+h,y)=(x+h)e^{3y}=x e^{3y}+h e^{3y}.
Substituindo na definição:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{(x e^{3y}+h e^{3y})-(x e^{3y})}{h}=\frac{h e^{3y}}{h}=e^{3y}.
Tomando o limite quando h\to0 obtemos
\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=e^{3y}.
Interpretação rápida: como x aparece multiplicando e^{3y} e e^{3y} é tratado como constante ao derivar em relação a x, a derivada é exatamente e^{3y}.

Passo 4

Definição e ideia para \dfrac{\partial z}{\partial y}:\n
A derivada parcial em relação a y mede a variação de f quando só y muda e x fica fixo. Formalmente,
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Aqui tratamos x como constante durante a diferenciação.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial z}{\partial y} usando a regra da cadeia:\n
Escrevemos f(x,y)=x\cdot g(y) com g(y)=e^{3y}. Como x é constante nessa derivação, temos
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=x\cdot g'(y).
Agora aplicamos a derivada de g(y)=e^{3y}. A regra da cadeia diz que a derivada de e^{u(y)} é u'(y)e^{u(y)}. Aqui u(y)=3y e u'(y)=3. Logo
g'(y)=3e^{3y}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=x\cdot 3e^{3y}=3x e^{3y}.
Intuição: ao variar y, o exponencial muda por um fator 3e^{3y}, e esse efeito é multiplicado pelo x que está na frente.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar e conferir):\n
Escolhendo (x,y)=(2,0),
\frac{\partial z}{\partial x}(2,0)=e^{0}=1,
\frac{\partial z}{\partial y}(2,0)=3\cdot 2\cdot e^{0}=6.
Isso mostra como usar as fórmulas na hora da prova: trate a variável não diferenciada como constante; derive a parte dependente da variável desejada (e use a regra da cadeia para exponenciais compostos).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=e^{3y}\n
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=3x e^{3y}

Exercícios relacionados