Seja
. Determine as derivadas parciais
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
, ou seja:
\n
\n
- Encontrar
.
\n - Encontrar
.
\n
A função dada é. Essas são todas as informações que temos.
Passo 2
Definição e ideia para
:\n
A derivada parcial de em relação a
é a taxa de variação de
quando só
muda e
fica fixo. Formalmente,
A derivada parcial de
Aqui tratamos
como uma constante durante a diferenciação.
Passo 3
Cálculo de
:\n
Calcule :
Calcule
Substituindo na definição:
Tomando o limite quando
obtemos
Interpretação rápida: como
aparece multiplicando
e
é tratado como constante ao derivar em relação a
, a derivada é exatamente
.
Passo 4
Definição e ideia para
:\n
A derivada parcial em relação a mede a variação de
quando só
muda e
fica fixo. Formalmente,
A derivada parcial em relação a
Aqui tratamos
como constante durante a diferenciação.
Passo 5
Cálculo de
usando a regra da cadeia:\n
Escrevemos com
. Como
é constante nessa derivação, temos
Escrevemos
Agora aplicamos a derivada de
. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
. Aqui
e
. Logo
Portanto
Intuição: ao variar
, o exponencial muda por um fator
, e esse efeito é multiplicado pelo
que está na frente.
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar e conferir):\n
Escolhendo ,
Escolhendo
Isso mostra como usar as fórmulas na hora da prova: trate a variável não diferenciada como constante; derive a parte dependente da variável desejada (e use a regra da cadeia para exponenciais compostos).