Seja
. Determine as derivadas parciais
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
da função
dada por
Informações relevantes: a função é uma potência de uma combinação linear de
e
; não há outras restrições dadas. O objetivo é obter as duas derivadas parciais.
Passo 2
Vamos organizar a ideia usando uma substituição útil. Definimos a função interna
de modo que
Essa escrita ajuda porque podemos aplicar a regra da cadeia: primeiro derivamos a potência em relação a
e depois multiplicamos pela derivada parcial de
em relação à variável que interessa.
Passo 3
Lembrete didático: regra da potência e regra da cadeia para funções compostas.
Se com
, então a derivada de
em relação a
é, pela regra da potência,
Se
Pela regra da cadeia, a derivada parcial de
em relação a
é
Analogamente para
:
Aqui
e
são calculadas tratando a outra variável como constante.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais de
:
porque
deriva para
e
é constante em relação a
;
porque
deriva para
e
é constante em relação a
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para
.
Usando e
, obtemos
Usando
Substituindo
obtemos
Passo 6
Simplificando o coeficiente em
:
Passo 7
Agora para
usamos
e
:
Substituindo
e simplificando o coeficiente obtemos