Seja z=f(x, y). Determine as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y}.
f(x, y)=(2 x+3 y)^{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} da função z=f(x,y) dada por
f(x,y)=(2x+3y)^{10}.
Informações relevantes: a função é uma potência de uma combinação linear de x e y; não há outras restrições dadas. O objetivo é obter as duas derivadas parciais.

Passo 2

Vamos organizar a ideia usando uma substituição útil. Definimos a função interna
u(x,y)=2x+3y,
de modo que
z=f(x,y)=u(x,y)^{10}.
Essa escrita ajuda porque podemos aplicar a regra da cadeia: primeiro derivamos a potência em relação a u e depois multiplicamos pela derivada parcial de u em relação à variável que interessa.

Passo 3

Lembrete didático: regra da potência e regra da cadeia para funções compostas.
Se z=u^{10} com u=u(x,y), então a derivada de z em relação a u é, pela regra da potência,
\frac{dz}{du}=10u^{9}.
Pela regra da cadeia, a derivada parcial de z em relação a x é
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Analogamente para \frac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui \frac{\partial u}{\partial x} e \frac{\partial u}{\partial y} são calculadas tratando a outra variável como constante.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de u(x,y)=2x+3y:
\frac{\partial u}{\partial x}=2
porque 2x deriva para 2 e 3y é constante em relação a x;
\frac{\partial u}{\partial y}=3
porque 3y deriva para 3 e 2x é constante em relação a y.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para \frac{\partial z}{\partial x}.
Usando \frac{dz}{du}=10u^{9} e \frac{\partial u}{\partial x}=2, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x}=10u^{9}\cdot 2.
Substituindo u=2x+3y obtemos
\frac{\partial z}{\partial x}=10\cdot 2\cdot(2x+3y)^{9}.

Passo 6

Simplificando o coeficiente em \frac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}=20(2x+3y)^{9}.

Passo 7

Agora para \frac{\partial z}{\partial y} usamos \frac{dz}{du}=10u^{9} e \frac{\partial u}{\partial y}=3:
\frac{\partial z}{\partial y}=10u^{9}\cdot 3.
Substituindo u=2x+3y e simplificando o coeficiente obtemos
\frac{\partial z}{\partial y}=30(2x+3y)^{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=20(2x+3y)^{9}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=30(2x+3y)^{9}

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