Seja z=f(x, y). Determine as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y}.
f(x, y)=x \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} para a função dada. As informações que temos são:
f(x,y)=x\ln\left(x^{2}+y^{2}\right),
e queremos as duas derivadas parciais em pontos onde a função está bem definida (note que o logaritmo exige x^{2}+y^{2}>0, ou seja, podemos trabalhar em todos os pontos exceto (0,0)).

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
  • A derivada parcial de z=f(x,y) em relação a x, escrita \frac{\partial z}{\partial x}, é a derivada considerando y como constante; ou seja, variamos só x.
  • Análogo para \frac{\partial z}{\partial y}: derivamos em relação a y mantendo x fixo.
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  1. Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x), então h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui usamos isso porque f(x,y)=x\cdot \ln(\cdot) é produto de x por \ln(\cdot).
  2. Regra da cadeia para logaritmo: se g(t)=\ln(t) e t=t(x), então
\frac{d}{dx}\ln\big(t(x)\big)=\frac{t'(x)}{t(x)}.
No nosso caso t(x,y)=x^{2}+y^{2}, assim \frac{\partial}{\partial x}\ln(x^{2}+y^{2})=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})/(x^{2}+y^{2}).

Passo 3

Vamos calcular \frac{\partial z}{\partial x}. Trate y como constante. Escrevo f(x,y)=x\cdot \ln\big(x^{2}+y^{2}\big) e aplico a regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x\big)\cdot \ln\big(x^{2}+y^{2}\big)+x\cdot \frac{\partial}{\partial x}\Big(\ln\big(x^{2}+y^{2}\big)\Big).
Agora calculo cada termo:
  • \frac{\partial}{\partial x}\big(x\big)=1, então o primeiro termo é \ln\big(x^{2}+y^{2}\big).
  • Para o segundo termo uso a regra da cadeia: \frac{\partial}{\partial x}\ln\big(x^{2}+y^{2}\big)=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}. Como \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x (porque y^{2} é constante quando derivamos em relação a x), temos
\frac{\partial}{\partial x}\ln\big(x^{2}+y^{2}\big)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
Substituindo no produto:
\frac{\partial z}{\partial x}=\ln\big(x^{2}+y^{2}\big)+x\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Simplifico o segundo termo de \frac{\partial z}{\partial x}:
x\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{2x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=\ln\big(x^{2}+y^{2}\big)+\frac{2x^{2}}{x^{2}+y^{2}},
válido para x^{2}+y^{2}>0. Observe que esta expressão combina uma parte logarítmica com uma razão algébrica.

Passo 5

Agora calculo \frac{\partial z}{\partial y}. Trate x como constante. Usando novamente que f(x,y)=x\cdot \ln\big(x^{2}+y^{2}\big) e a regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x\big)\cdot \ln\big(x^{2}+y^{2}\big)+x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\Big(\ln\big(x^{2}+y^{2}\big)\Big).
Aqui \frac{\partial}{\partial y}(x)=0 pois x é constante ao derivar em relação a y. Então o primeiro termo é zero e resta o segundo termo. Calculo a derivada do logaritmo por cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\ln\big(x^{2}+y^{2}\big)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}},
pois \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y. Assim
\frac{\partial z}{\partial y}=x\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Pequena verificação numérica para ter intuição (opcional): em (x,y)=(1,1) temos x^{2}+y^{2}=2. Então
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,1)}=\ln(2)+\frac{2\cdot 1^{2}}{2}=\ln(2)+1,
\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(1,1)}=\frac{2\cdot 1\cdot 1}{2}=1.
Isso mostra como usar as fórmulas na prática e confirma consistência das expressões.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\ln\big(x^{2}+y^{2}\big)+\frac{2x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\n
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}

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