Seja
. Determine as derivadas parciais
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais
e
para a função dada. As informações que temos são:
e queremos as duas derivadas parciais em pontos onde a função está bem definida (note que o logaritmo exige
, ou seja, podemos trabalhar em todos os pontos exceto
).
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a derivada considerando como constante; ou seja, variamos só . - Análogo para
: derivamos em relação a mantendo fixo.
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se
, então . Aqui usamos isso porque é produto de por . - Regra da cadeia para logaritmo: se
e , então
No nosso caso
, assim
.
Passo 3
Vamos calcular
. Trate
como constante. Escrevo
e aplico a regra do produto:
Agora calculo cada termo:
-
, então o primeiro termo é . - Para o segundo termo uso a regra da cadeia:
. Como
(porque é constante quando derivamos em relação a ), temos
Substituindo no produto:
Passo 4
Simplifico o segundo termo de
:
Portanto
válido para
. Observe que esta expressão combina uma parte logarítmica com uma razão algébrica.
Passo 5
Agora calculo
. Trate
como constante. Usando novamente que
e a regra do produto:
Aqui
pois
é constante ao derivar em relação a
. Então o primeiro termo é zero e resta o segundo termo. Calculo a derivada do logaritmo por cadeia:
pois
. Assim
Passo 6
Pequena verificação numérica para ter intuição (opcional): em
temos
. Então
Isso mostra como usar as fórmulas na prática e confirma consistência das expressões.