Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=4 x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
f(x,y)=4x^{2}+y^{2}.
O conteúdo é o estudo de superfícies de segundo grau em \mathbb{R}^{3}, mais precisamente um parabolóide elíptico. Para esboçar, vamos identificar vértice, curvas de nível e seções transversais.

Passo 2

Determinar o ponto crítico e valor mínimo. Como 4x^{2}\ge0 e y^{2}\ge0 para todos x,y, o mínimo ocorre em
(x,y)=(0,0)
com
f(0,0)=0.
Logo, o vértice da superfície é (0,0,0) e para \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to\infty temos f(x,y)\to+\infty.

Passo 3

Estudar as curvas de nível f(x,y)=c para constantes c>0.
4x^{2}+y^{2}=c
é a equação de elipses centradas na origem, com semi-eixos
a=\sqrt{\frac{c}{4}},\quad b=\sqrt{c}.
Conforme c cresce, as elipses ficam maiores.

Passo 4

Analisar seções transversais:
\text{Quando }y=0:\quad z=f(x,0)=4x^{2},
parábola no plano y=0 com “abertura” mais estreita.
\text{Quando }x=0:\quad z=f(0,y)=y^{2},
parábola no plano x=0 com abertura padrão.
Para retas y=mx,
z=4x^{2}+(mx)^{2}=(4+m^{2})\,x^{2},
são parábolas mais “abertas” conforme m.

Passo 5

Concluir que a superfície é um parabolóide elíptico simétrico em relação ao eixo z, com vértice em (0,0,0), aberto para cima, cujas seções horizontais são elipses e seções verticais em planos coordenados são parábolas.

Resposta

O gráfico é um parabolóide elíptico de vértice na origem (0,0,0), aberto para cima, com seções horizontais elípticas definidas por
4x^{2}+y^{2}=c\quad(c>0)
e seções verticais parábolas mais “abertas” no plano y=0 e x=0.

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