Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
O conteúdo é o estudo de superfícies de segundo grau em
, mais precisamente um parabolóide elíptico. Para esboçar, vamos identificar vértice, curvas de nível e seções transversais.
Passo 2
Determinar o ponto crítico e valor mínimo. Como
e
para todos
, o mínimo ocorre em
com
Logo, o vértice da superfície é
e para
temos
.
Passo 3
Estudar as curvas de nível
para constantes
.
é a equação de elipses centradas na origem, com semi-eixos
Conforme
cresce, as elipses ficam maiores.
Passo 4
Analisar seções transversais:
parábola no plano
com “abertura” mais estreita.
parábola no plano
com abertura padrão.
Para retas ,
Para retas
são parábolas mais “abertas” conforme
.
Passo 5
Concluir que a superfície é um parabolóide elíptico simétrico em relação ao eixo
, com vértice em
, aberto para cima, cujas seções horizontais são elipses e seções verticais em planos coordenados são parábolas.
Resposta
O gráfico é um parabolóide elíptico de vértice na origem
, aberto para cima, com seções horizontais elípticas definidas por
e seções verticais parábolas mais “abertas” no plano
e
.