Determine e faça o esboço do domínio das função:
f(x, y, z)=raiz9-x^2-y^2-z^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio de realidade da função f(x,y,z)=√(9−x²−y²−z²) e esboçar essa região no espaço. O conteúdo envolve domínio de funções de várias variáveis e a condição de existência de uma raiz quadrada (radicando ≥0).

Passo 2

Para que
raiz9 - x^2 - y^2 - z^2
esteja bem-definida como número real, é preciso que o radicando seja não-negativo. Ou seja, devemos ter:
9 - x^2 - y^2 - z^2 >= 0
Reorganizando a desigualdade, obtemos a condição clássica de uma bola fechada de raio 3 centrada na origem:
x^2 + y^2 + z^2 <= 9
Portanto, o domínio D é
D = (x,y,z) in R^3 : x^2 + y^2 + z^2 <= 9

Passo 3

Para esboçar D, imagine uma esfera de raio 3 centrada na origem (0,0,0), incluindo todo o interior (região sólida). No plano xy a seção é um círculo de raio 3; conforme o eixo z varia de −3 a 3, esses círculos definem a bola sólida de raio 3.
Na prática, o esboço consiste em desenhar uma esfera de raio 3, indicar o centro na origem e sombrear o interior, pois todos os pontos até a superfície (inclusive) pertencem ao domínio.

Resposta

O domínio é o conjunto dos pontos satisfazendo x² + y² + z² ≤ 9, ou seja, a bola sólida de raio 3 centrada na origem.

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