Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: determinar e fazer um esboço do domínio da função
. Para resolver isso, precisamos entender as condições para que as expressões dentro das raízes e dos denominadores sejam válidas. Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira parte da função:
. Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
Isso significa que os pontos
devem estar fora ou exatamente na circunferência de raio 2 (já que
).
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função:
. Para que essa expressão seja definida, o denominador não pode ser zero e a raiz quadrada deve ser real. Portanto:
Isso indica que os pontos
devem estar dentro da circunferência de raio 4 (pois
).
Passo 4
Juntando as duas condições que encontramos:
Isso define o domínio da função como o conjunto de todos os pontos que estão na região entre as circunferências de raio 2 e 4, ambas centradas na origem.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de pontos
que satisfazem
. No plano cartesiano, isso corresponde à região situada entre os círculos de raio 2 e 4, ambos centrados na origem.