Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=raizx^2+y^2-4+1raiz16-x^2-y^2.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: determinar e fazer um esboço do domínio da função f(x, y) = raizx^2 + y^2 - 4 + 1raiz16 - x^2 - y^2 . Para resolver isso, precisamos entender as condições para que as expressões dentro das raízes e dos denominadores sejam válidas. Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte da função: raizx^2 + y^2 - 4 . Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
x^2 + y^2 - 4 >= 0 Rightarrow x^2 + y^2 >= 4
Isso significa que os pontos (x, y) devem estar fora ou exatamente na circunferência de raio 2 (já que 2^2 = 4).

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: 1raiz16 - x^2 - y^2 . Para que essa expressão seja definida, o denominador não pode ser zero e a raiz quadrada deve ser real. Portanto:
16 - x^2 - y^2 > 0 Rightarrow x^2 + y^2 < 16
Isso indica que os pontos (x, y) devem estar dentro da circunferência de raio 4 (pois 4^2 = 16).

Passo 4

Juntando as duas condições que encontramos:
4 <= x^2 + y^2 < 16
Isso define o domínio da função como o conjunto de todos os pontos que estão na região entre as circunferências de raio 2 e 4, ambas centradas na origem.

Resposta

O domínio da função f(x, y) é o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem 4 <= x^2 + y^2 < 16 . No plano cartesiano, isso corresponde à região situada entre os círculos de raio 2 e 4, ambos centrados na origem.

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