(1 ponto)
Seja W o conjunto dos vetores de R^3 da forma [c2 b+3 c -b 2 c], onde b e c são arbitrários. Determine vetores u e v tais que W=£(u, v). Por que isso mostra que W é um subespaço de R^3 ?

Passo 1

O enunciado define
W = l2b+3c -b 2c;|;b,cinRr
e pede para encontrar vetores u e v em R^3 tais que
W = span(u,v)
O tema aqui é espaço gerado (span) e subespaço vetorial em álgebra linear.

Passo 2

Escrevemos um vetor genérico de W e fatoramos os parâmetros b e c:
2b+3c -b 2c = b2-10 ;+; c302
Aqui vimos que todo elemento de W é combinação linear de 2-10 e 302.

Passo 3

Logo, basta definir
u = 2-10, v = 302,
de modo que
W = span(u,v)

Passo 4

Sabemos que o espaço gerado por qualquer conjunto de vetores é um subespaço vetorial, pois contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Como W é exatamente um espaço gerado, concluímos que W é subespaço de R^3.

Resposta

u = 2-10, v = 302
Isso mostra que W=span(u,v), e todo espaço gerado é subespaço de R^3.

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