Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente determinar e fazer um esboço do domínio da função:
Matéria envolvida aqui são as funções logarítmicas e frações com radicais. Para encontrar o domínio, vamos precisar entender onde essa função está definida, ou seja, quais valores de
e
podem ser colocados na função sem causar problemas como logaritmo de número negativo ou divisão por zero.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte do logaritmo:
.
Teoria aplicada: O logaritmo natural
só está definido quando
. Então, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Isso significa que, para a função estar definida,
precisa ser menor que 2.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função:
.
Teoria aplicada:
- O denominador
precisa ser diferente de zero, para evitar divisão por zero. - O radicando
dentro da raiz quadrada deve ser positivo, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Então, temos duas condições:
-
-
que, na verdade, já está coberta pela primeira condição.
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade
.
Isso pode ser reescrito como:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados (considerando apenas valores positivos, já que estamos falando de quadrados):
Isso significa que
deve ser maior em valor absoluto que
. Ou seja,
deve estar entre
e
:
Passo 5
Resumindo as condições que encontramos:
-
-
ou
Essas duas condições juntas definem o domínio da função.
Passo 6
Para esboçar o domínio, vamos imaginar no plano
:
- A condição
significa que estamos olhando para todas as áreas à esquerda da linha vertical . - A condição
representa a região entre as linhas e .
Então, o domínio é a região entre essas duas linhas, para todos os
menores que 2.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
tais que:
Ou, de forma gráfica, é a região delimitada pelas linhas
e
para todos os valores de
menores que 2.