Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=ln (2-x)+4 y+5raizx^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente determinar e fazer um esboço do domínio da função:
f(x, y) = ln(2 - x) + 4y + 5raizx^2 - y^2
Matéria envolvida aqui são as funções logarítmicas e frações com radicais. Para encontrar o domínio, vamos precisar entender onde essa função está definida, ou seja, quais valores de x e y podem ser colocados na função sem causar problemas como logaritmo de número negativo ou divisão por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte do logaritmo: ln(2 - x).
Teoria aplicada: O logaritmo natural ln(a) só está definido quando a > 0. Então, precisamos que:
2 - x > 0
Resolvendo essa desigualdade:
x < 2
Isso significa que, para a função estar definida, x precisa ser menor que 2.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: 4y + 5raizx^2 - y^2.
Teoria aplicada:
  1. O denominador raizx^2 - y^2 precisa ser diferente de zero, para evitar divisão por zero.
  2. O radicando x^2 - y^2 dentro da raiz quadrada deve ser positivo, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Então, temos duas condições:
  1. x^2 - y^2 > 0
  2. raizx^2 - y^2 neq 0 que, na verdade, já está coberta pela primeira condição.

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade x^2 - y^2 > 0.
Isso pode ser reescrito como:
x^2 > y^2
Tomando a raiz quadrada dos dois lados (considerando apenas valores positivos, já que estamos falando de quadrados):
|x| > |y|
Isso significa que x deve ser maior em valor absoluto que y. Ou seja, y deve estar entre -x e x:
- |x| < y < |x|

Passo 5

Resumindo as condições que encontramos:
  1. x < 2
  2. |x| > |y| ou -|x| < y < |x|
Essas duas condições juntas definem o domínio da função.

Passo 6

Para esboçar o domínio, vamos imaginar no plano xy:
  • A condição x < 2 significa que estamos olhando para todas as áreas à esquerda da linha vertical x = 2.
  • A condição |x| > |y| representa a região entre as linhas y = x e y = -x.
Então, o domínio é a região entre essas duas linhas, para todos os x menores que 2.

Resposta

O domínio da função f(x, y) = ln(2 - x) + 4y + 5raizx^2 - y^2 é o conjunto de todos os pares (x, y) tais que:
x < 2 e -|x| < y < |x|
Ou, de forma gráfica, é a região delimitada pelas linhas y = x e y = -x para todos os valores de x menores que 2.

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