Mostre que os limites abaixo não existem:
lim (x, y) (0,0) cos (xy)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
lim(x,y)to(0,0) cos(xy)x^2+y^2
não existe. O conteúdo é limite em duas variáveis e, para tal, vamos usar o fato de que se essa expressão não for limitada ao se aproximar da origem, então não há limite finito.

Passo 2

Como cos é contínua e cos(0)=1, para (x,y) próximos de (0,0) temos
cos(xy)approx 1
e, portanto,
cos(xy)x^2+y^2approx 1x^2+y^2

Passo 3

Escolhendo o caminho y=0, a expressão fica
cos(xcdot 0)x^2+0^2 =1x^2,
À medida que xto 0,
1x^2to +infty,
ou seja, a função torna-se arbitrariamente grande perto da origem.

Passo 4

Se existisse um limite finito L em (0,0), a função deveria permanecer próxima de L ao longo de qualquer caminho. Mas ao longo de y=0 ela diverge para +infty. Logo não há limite finito em (0,0).

Resposta

O limite
lim(x,y)to(0,0) cos(xy)x^2+y^2
não existe, pois a expressão diverge para +infty ao se aproximar da origem pelo caminho y=0.

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