Determine a família de curvas para as quais o comprimento da tangente em um ponto ( x, y ) qualquer da curva é igual à ordenada da tangente ao ponto ( x, y ) na origem

Passo 1

Temos uma curva y=y(x). Em cada ponto (x,y) traçamos a reta tangente. Denotemos por
  1. T o comprimento desse trecho da tangente entre o ponto (x,y) e sua interseção com o eixo x.
  2. b a ordenada (intercepto em y) dessa reta, isto é, o valor de Y quando X=0.
    A condição do problema é
T = b
Vamos achar expressões de T e de b em termos de x,y e p = dfracdydx.

Passo 2

Equação da tangente em (x,y) é
Y - y = p,(X - x)
– para interseção com o eixo x tomamos Y=0, daí
0 - y = p,(X0 - x) Longrightarrow X0 = x - yp
O comprimento real T desse segmento entre (x,y) e l(X0,0r) vale
T = raizl(X0 - xr)^2 + (0 - y)^2 = raizl(-tfracypr)^2 + y^2 = y|p|,raiz1 + p^2
A ordenada b (intercepto em y) obtém-se fazendo X=0 na equação da reta:
b = y - p,x

Passo 3

Igualando T a b e assumindo p>0 e y>0 só para evitar o valor absoluto, temos
yp,raiz1 + p^2 = y - x,p
Multiplicando por p e rearranjando,
yraiz1+p^2 = p,(y - x p) ;Longrightarrow; y^2(1+p^2) = p^2(y - x p)^2
Expandindo e simplificando chega-se à equação diferencial equivalente (uma só revista a cada termo):
x^2,p^4 ;-;2,x,y,p^3 ;-;y^2 ;=;0,
onde p = dfracdydx.

Passo 4

Essa equação é homogênea de grau zero em (x,y), pois se escrevermos y=vx então p = v + x,dv/dx e a equação algébrica em p e v=y/x fica
p^4 -2,v,p^3 -v^2=0
Dessa forma obtemos duas raízes p(v) e cada ramo dá-se por
dydx = v + xdvdx = v pm raizv^2 -4v2,
que é separável em v e x. Após separar variáveis e integrar, tem-se, voltando a y e x, uma solução implícita da forma
boxedraiz,y^2 -4xy,;+;y ;=;C,
ou tomando o outro sinal no radical,
boxedy ;-;raiz,y^2 -4xy,;=;C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A família geral das curvas que atendem à condição é dada implicitamente por
boxedraiz,y^2 -4,x,y,;+;y ;=;C ou boxedy ;-;raiz,y^2 -4,x,y,;=;C,
com C constante.

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