Determine a família de curvas para as quais o comprimento da tangente em um ponto (
) qualquer da curva é igual à ordenada da tangente ao ponto (
) na origem
Passo 1
Temos uma curva
. Em cada ponto
traçamos a reta tangente. Denotemos por
-
o comprimento desse trecho da tangente entre o ponto e sua interseção com o eixo . -
a ordenada (intercepto em ) dessa reta, isto é, o valor de quando .
A condição do problema é
Vamos achar expressões de
e de
em termos de
e
.
Passo 2
Equação da tangente em
é
– para interseção com o eixo
tomamos
, daí
O comprimento real
desse segmento entre
e
vale
A ordenada
(intercepto em
) obtém-se fazendo
na equação da reta:
Passo 3
Igualando
a
e assumindo
e
só para evitar o valor absoluto, temos
Multiplicando por
e rearranjando,
Expandindo e simplificando chega-se à equação diferencial equivalente (uma só revista a cada termo):
onde
.
Passo 4
Essa equação é homogênea de grau zero em
, pois se escrevermos
então
e a equação algébrica em
e
fica
Dessa forma obtemos duas raízes
e cada ramo dá-se por
que é separável em
e
. Após separar variáveis e integrar, tem-se, voltando a
e
, uma solução implícita da forma
ou tomando o outro sinal no radical,
onde
é a constante de integração.
Resposta
A família geral das curvas que atendem à condição é dada implicitamente por
com
constante.