As questões 5, 6 e 7 são abertas. Justifique claramente seus passos.
Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada. Lembre-se de justificar sua resposta.
lim x 1 2-raiz2 x+2x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto12-raiz2x+2x^2-1
sem usar derivada. O conteúdo é limites de funções com forma indeterminada, e vamos usar a técnica de racionalização do numerador para resolver.

Passo 2

Fazendo a substituição direta em x=1: o numerador é
2-raiz2cdot1+2=2-raiz4=0
e o denominador é
1^2-1=0,
resultando em tfrac00, que é uma forma indeterminada. Para eliminar essa indeterminação, vamos racionalizar o numerador, ou seja, multiplicar por seu conjugado 2+raiz2x+2.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador por 2+raiz2x+2, obtemos
2-raiz2x+2x^2-1 = (2-raiz2x+2)(2+raiz2x+2)(x^2-1),(2+raiz2x+2)
No numerador aparece a diferença de quadrados:
(2-raiz2x+2)(2+raiz2x+2) = 4 - (2x+2) = 2 - 2x = -2(x-1)
E no denominador usamos
x^2-1=(x-1)(x+1),
ficando
-2,(x-1)(x-1)(x+1),(2+raiz2x+2)
Como xneq1 na vizinhança do limite, cancelamos (x-1), restando
-,2(x+1),(2+raiz2x+2)

Passo 4

Agora a expressão não é mais indeterminada, então basta substituir x=1:
(x+1),(2+raiz2x+2)|x=1 = (1+1),(2+raiz4) = 2cdot(2+2) =8
Portanto, o limite vale
-,28 = -14

Resposta

-tfrac14

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