Mostre, por indução, que dado um número real a>-1 temos que
(1+a)^n >= 1+n a, forall n in N

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer aqui. A questão pede para provar, usando indução matemática, que para qualquer número real a > -1 , a expressão (1 + a)^n é sempre maior ou igual a 1 + n a para todo número natural n . Isso envolve trabalhar com exponenciação e desigualdades, e a indução matemática será a nossa ferramenta principal para estabelecer essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, que é n = 1 . Essa é a base da nossa indução.
Para n = 1 :
(1 + a)^1 = 1 + a
E queremos comparar com 1 + 1 cdot a = 1 + a .
Então, temos:
(1 + a)^1 = 1 + a >= 1 + a
Isso é claramente verdadeiro, já que ambos os lados são iguais. Assim, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para um número natural n = k . Ou seja, hipótese de indução:
(1 + a)^k >= 1 + k a
Com essa suposição, precisamos mostrar que a desigualdade também vale para n = k + 1 . Ou seja, precisamos provar que:
(1 + a)^k + 1 >= 1 + (k + 1) a
Vamos começar manipulando o lado esquerdo da desigualdade:
(1 + a)^k + 1 = (1 + a)^k cdot (1 + a)
Pela hipótese de indução, sabemos que (1 + a)^k >= 1 + k a . Então, substituímos:
(1 + a)^k + 1 >= (1 + k a)(1 + a)
Agora, vamos multiplicar os termos no lado direito:
(1 + k a)(1 + a) = 1 cdot 1 + 1 cdot a + k a cdot 1 + k a cdot a = 1 + a + k a + k a^2
Simplificando:
1 + (k + 1)a + k a^2
Sabemos que a > -1 , então a^2 >= 0 . Isso implica que k a^2 >= 0 para todo k in N . Portanto:
1 + (k + 1)a + k a^2 >= 1 + (k + 1)a
Ou seja:
(1 + a)^k + 1 >= 1 + (k + 1)a
Isso confirma que a desigualdade também é válida para n = k + 1 .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo número natural n e para todo número real a > -1 , a desigualdade
(1 + a)^n >= 1 + n a
é verdadeira.

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