Mostre, por indução, que dado um número real
temos que
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer aqui. A questão pede para provar, usando indução matemática, que para qualquer número real
, a expressão
é sempre maior ou igual a
para todo número natural
. Isso envolve trabalhar com exponenciação e desigualdades, e a indução matemática será a nossa ferramenta principal para estabelecer essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, que é
. Essa é a base da nossa indução.
Para
:
E queremos comparar com
.
Então, temos:
Isso é claramente verdadeiro, já que ambos os lados são iguais. Assim, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para um número natural
. Ou seja, hipótese de indução:
Com essa suposição, precisamos mostrar que a desigualdade também vale para
. Ou seja, precisamos provar que:
Vamos começar manipulando o lado esquerdo da desigualdade:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Então, substituímos:
Agora, vamos multiplicar os termos no lado direito:
Simplificando:
Sabemos que
, então
. Isso implica que
para todo
. Portanto:
Ou seja:
Isso confirma que a desigualdade também é válida para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo número natural
e para todo número real
, a desigualdade
é verdadeira.