Resolva as seguintes equações, onde
e
são constantes positivas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
onde
e
são constantes positivas. Para resolver usamos o método do fator integrante, que consiste em encontrar
tal que, multiplicando a EDO por
, o lado esquerdo passe a ser a derivada de
.
Passo 2
O fator integrante é dado por
Passo 3
Multiplicando a equação original por
obtemos
ou seja,
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular
usamos integração por partes com
,
. Então
e
. Logo,
Passo 5
Substituindo de volta e dividindo por
, para o caso
resulta
e como
temos
Passo 6
No caso especial
, o termo
cai e a integral vira
. Seguindo o mesmo procedimento obtemos
Resposta
Para
:
Para
: