Resolva as seguintes equações, onde m e n são constantes positivas.
y^prime+m y=x e^-n x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + m,y = x,e^-n x,
onde m e n são constantes positivas. Para resolver usamos o método do fator integrante, que consiste em encontrar mu(x) tal que, multiplicando a EDO por mu(x), o lado esquerdo passe a ser a derivada de mu(x),y.

Passo 2

O fator integrante é dado por
mu(x) = e^integral m,dx = e^m x

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
y',e^m x + m,y,e^m x = x,e^-n x,e^m x
ou seja,
l(y,e^m xr)' = x,e^(m-n)x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^m x = integral x,e^(m-n)x,dx + C
Para calcular integral x,e^(m-n)x,dx usamos integração por partes com u = x, dv = e^(m-n)xdx. Então du = dx e v = dfrace^(m-n)xm-n. Logo,
integral x,e^(m-n)x,dx = xe^(m-n)xm-n - integral e^(m-n)xm-n,dx = x,e^(m-n)xm-n - e^(m-n)x(m-n)^2 + C

Passo 5

Substituindo de volta e dividindo por e^m x, para o caso mneq n resulta
y = x,e^(m-n)xm-n,e^-m x - e^(m-n)x(m-n)^2,e^-m x + C,e^-m x,
e como e^(m-n)xe^-m x=e^-n x temos
y = x,e^-n xm-n - e^-n x(m-n)^2 + C,e^-m x, mneq n

Passo 6

No caso especial m = n, o termo e^(m-n)x cai e a integral vira integral x,dx = x^2/2. Seguindo o mesmo procedimento obtemos
y,e^m x = x^22 + C Longrightarrow y = e^-m xl(x^22 + Cr), m = n

Resposta

Para mneq n:
y(x) = x,e^-n xm-n - e^-n x(m-n)^2 + C,e^-m x
Para m = n:
y(x) = e^-m xl(x^22 + Cr)

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