Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
Passo 1
O enunciado pede os extremos de
sujeito à restrição
.
O método a usar é o dos multiplicadores de Lagrange: vamos montar
sujeito à restrição
O método a usar é o dos multiplicadores de Lagrange: vamos montar
e resolver
junto com a restrição.
Passo 2
Calculando as derivadas parciais:
Passo 3
Da terceira equação
2z-2lambda z=0 seguem dois casos:
-
e entãozneq0 .lambda=1 -
.z=0
Passo 4
Caso
lambda=1 :
as duas primeiras equações viram
as duas primeiras equações viram
que dão
y=0 e
x=0 .
Na restrição surge
Na restrição surge
Pontos críticos:
(0,0,2raiz3) e
(0,0,-2raiz3) , com
f=12 .
Passo 5
Caso
z=0 :
a restrição fica
a restrição fica
e as duas primeiras equações são
Para
x,yneq0 igualamos
2x2x+y=2yx+2y ,
o que leva ax^2=y^2 , ou seja
x=pm y .
o que leva a
Subcaso
x=y :
pontos
(2,2,0) ,
(-2,-2,0) com
f=8 .
Subcaso
x=-y :
pontos
(2raiz3,-2raiz3,0) ,
(-2raiz3,2raiz3,0) com
f=24 .
Não há soluções com exatamente um de
x,y igual a zero porque violam simultaneamente as equações de Lagrange.
Passo 6
Resumo dos valores de
f nos críticos:
-
emf=8 ,(2,2,0) .(-2,-2,0) -
emf=12 .(0,0,pm2raiz3) -
emf=24 .(pm2raiz3,mp2raiz3,0)
Passo 7
Como a restrição define um elipsoide (compacto), esses são todos os extremos:
- Mínimos globais:
emfmin=8 e(2,2,0) .(-2,-2,0) - Máximos globais:
emfmax=24 e(2raiz3,-2raiz3,0) .(-2raiz3,2raiz3,0)
Os pontos com são pontos críticos intermediários (nem max nem min).f=12
Resposta
Mínimos globais:
(2,2,0) ,
(-2,-2,0) com
f=8 .
Máximos globais:
(2raiz3,-2raiz3,0) ,
(-2raiz3,2raiz3,0) com
f=24 .