Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 ; x^2+y^2+z^2+x y=12

Passo 1

O enunciado pede os extremos de
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeito à restrição
x^2+y^2+z^2+x,y=12.
O método a usar é o dos multiplicadores de Lagrange: vamos montar
L(x,y,z,lambda)=f(x,y,z)-lambdal(x^2+y^2+z^2+x,y-12r)
e resolver nabla L=0 junto com a restrição.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais:
partial L/partial x: & 2x-lambda(2x+y)=0, partial L/partial y: & 2y-lambda(x+2y)=0, partial L/partial z: & 2z-lambda(2z)=0, partial L/partial lambda: & x^2+y^2+z^2+x,y-12=0

Passo 3

Da terceira equação 2z-2lambda z=0 seguem dois casos:
  • zneq0 e então lambda=1.
  • z=0.

Passo 4

Caso lambda=1:
as duas primeiras equações viram
2x=(2x+y), 2y=(x+2y)
que dão y=0 e x=0.
Na restrição surge
0+0+z^2+0=12Longrightarrow z=pm2raiz3
Pontos críticos:
(0,0,2raiz3) e (0,0,-2raiz3), com
f=12.

Passo 5

Caso z=0:
a restrição fica
x^2+y^2+x,y=12,
e as duas primeiras equações são
2x=lambda(2x+y), 2y=lambda(x+2y)
Para x,yneq0 igualamos
2x2x+y=2yx+2y,
o que leva a x^2=y^2, ou seja x=pm y.
Subcaso x=y:
3x^2=12Longrightarrow x=y=pm2, z=0,
pontos (2,2,0), (-2,-2,0) com f=8.
Subcaso x=-y:
x^2=12Longrightarrow x=pm2raiz3,;y=mp2raiz3,;z=0,
pontos (2raiz3,-2raiz3,0), (-2raiz3,2raiz3,0) com f=24.
Não há soluções com exatamente um de x,y igual a zero porque violam simultaneamente as equações de Lagrange.

Passo 6

Resumo dos valores de f nos críticos:
  • f=8 em (2,2,0), (-2,-2,0).
  • f=12 em (0,0,pm2raiz3).
  • f=24 em (pm2raiz3,mp2raiz3,0).

Passo 7

Como a restrição define um elipsoide (compacto), esses são todos os extremos:
  • Mínimos globais: fmin=8 em (2,2,0) e (-2,-2,0).
  • Máximos globais: fmax=24 em (2raiz3,-2raiz3,0) e (-2raiz3,2raiz3,0).
    Os pontos com f=12 são pontos críticos intermediários (nem max nem min).

Resposta

Mínimos globais:
(2,2,0), (-2,-2,0) com f=8.
Máximos globais:
(2raiz3,-2raiz3,0), (-2raiz3,2raiz3,0) com f=24.

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