Encontre outras representações decimais para o número 2,13.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar outras representações decimais que descrevam o mesmo número 2,13. O conteúdo aqui é a não unicidade da escrita decimal de números racionais terminantes, e vamos usar duas ideias principais: acrescentar zeros à direita e usar noves infinitos.

Passo 2

Qualquer acréscimo de zeros à direita de uma expansão decimal terminante não altera o valor. Por exemplo,
2,13 = 2,130 = 2,1300 = 2,13000ldots

Passo 3

Por outro lado, sempre que uma expansão termina em zero, podemos transformar esse zero em noves repetidos uma casa antes. Note que
0,01 = 0,009999ldots
Logo,
2,13 = 2,12 + 0,01 = 2,12 + 0,009999ldots = 2,129999ldots

Passo 4

Concluímos que todo decimal terminante tem duas classes de representações equivalentes:
  • com zeros infinitos após o término,
  • com noves infinitos substituindo o último zero.
    No caso de 2,13, as duas formas não triviais são as abaixo.

Resposta

2,13 = 2,13000ldots
2,13 = 2,129999ldots

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