Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
Passo 1
O enunciado pede os extremos de
sujeito à restrição
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange: vamos introduzir um parâmetro
e resolver o sistema
junto com
.
Passo 2
Formamos a função de Lagrange
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 3
Das equações
e
temos duas possibilidades para cada variável:
.
,
.
ou
.
a) Se
, então de
vem
(e
). A restrição fica
, definindo uma curva elíptica de pontos críticos com
.
b) Se
, então obrigatoriamente
e
. Substituindo em
com
dá
A restrição
implica
Passo 4
Agora avaliamos
nos dois tipos de pontos críticos:
Se
,
, logo
- o valor mínimo
ocorre em toda a curva , - o valor máximo
ocorre em .
Se
, a ordem inverte:
, então
- o mínimo
em , - o máximo
na curva .
Resposta
Pontos críticos e valores de
:
.
.
Classificação depende do sinal de
:
- Se
: mínimo , máximo . - Se
: mínimo , máximo .