Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
f(x, y, z)=e^n z z ; 2 x^2+y^2+z^2=24

Passo 1

O enunciado pede os extremos de
f(x,y,z)=e^n z^2
sujeito à restrição
g(x,y,z)=2x^2+y^2+z^2-24=0
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange: vamos introduzir um parâmetro lambda e resolver o sistema nabla f = lambda,nabla g junto com g=0.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda) = e^n z^2 - lambdal(2x^2+y^2+z^2-24r)
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x = -4lambda x = 0, partial Lpartial y = -2lambda y = 0,
partial Lpartial z = e^n z^2cdot 2n z ;-;2lambda z = 0,
partial Lpartial lambda = -(2x^2+y^2+z^2-24)=0

Passo 3

Das equações -4lambda x=0 e -2lambda y=0 temos duas possibilidades para cada variável:
1. lambda=0,
2. x=0 ou y=0.
a) Se lambda=0, então de partialL/partial z=0 vem
e^n z^2cdot 2n z =0 Longrightarrow z=0
(e e^n z^2neq0). A restrição fica 2x^2+y^2=24, definindo uma curva elíptica de pontos críticos com z=0.
b) Se lambdaneq0, então obrigatoriamente x=0 e y=0. Substituindo em partialL/partial z=0 com zneq0
e^n z^2cdot 2n z = 2lambda z Longrightarrow lambda = n,e^n z^2
A restrição 2cdot0^2+0^2+z^2=24 implica
z^2=24, z=pm 2raiz6

Passo 4

Agora avaliamos f nos dois tipos de pontos críticos:
1. Para z=0 e 2x^2+y^2=24:
f(x,y,0) = e^ncdot0^2 = e^0 = 1
2. Para (x,y,z)=(0,0,pm2raiz6):
f(0,0,pm2raiz6) = e^n,(2raiz6)^2 = e^24n
Se n>0, e^24n>1, logo
  • o valor mínimo fmin=1 ocorre em toda a curva (x,y,0):2x^2+y^2=24,
  • o valor máximo fmax=e^24n ocorre em (0,0,pm2raiz6).
Se n<0, a ordem inverte: e^24n<1, então
  • o mínimo fmin=e^24n em (0,0,pm2raiz6),
  • o máximo fmax=1 na curva z=0,;2x^2+y^2=24.

Resposta

Pontos críticos e valores de f:
z=0,;2x^2+y^2=24 Rightarrow f=1.
(x,y,z)=(0,0,pm2raiz6) Rightarrow f=e^24n.
Classificação depende do sinal de n:
  • Se n>0: mínimo 1, máximo e^24n.
  • Se n<0: mínimo e^24n, máximo 1.

Exercícios relacionados