Determine o fator de atrito de Fanning e a queda de pressão nas seguintes situações:
Escoamento de 12 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~h}^{-1} de óleo de soja ( \rho=919 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3} ; \mu=40 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s} ) em uma tubulação de aço comercial de 250 m de comprimento e 77,9 \mathrm{~mm} de diâmetro interno;

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Vazão volumétrica: Q=12\\ \mathrm{m^{3}\cdot h^{-1}}.
  • Densidade do óleo de soja: \rho=919\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=40\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Tubulação: comprimento L=250\\ \mathrm{m} e diâmetro interno D=77{,}9\\ \mathrm{mm}.
    O que o problema pede:
  • Determinar o fator de atrito de Fanning (denotar por f).
  • Determinar a queda de pressão ao longo dos 250\\ \mathrm{m} (ou seja, \Delta p).
Observação sobre dados não informados: o enunciado não deu rugosidade absoluta da tubulação. Vou assumir uma rugosidade típica para tubo de aço comercial \varepsilon=0{,}045\\ \mathrm{mm}=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (valor convencional usado em tabelas). Se o professor usar outro valor, a parte turbulenta mudaria; porém vamos verificar o regime de escoamento antes de precisar da rugosidade.

Passo 2

Converter unidades e calcular área da seção e velocidade média:
  • Converter vazão para \mathrm{m^{3}/s}:
Q=\frac{12}{3600}=0{,}003333\\ \mathrm{m^{3}\cdot s^{-1}}.
  • Converter diâmetro para metros:
D=77{,}9\\ \mathrm{mm}=0{,}0779\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção transversal (círculo):
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Calcular numericamente:
D^{2}=0{,}0779^{2}=0{,}00606841\\ \mathrm{m^{2}},
A=\frac{\pi}{4}\cdot0{,}00606841\approx0{,}0047660\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}003333}{0{,}0047660}\approx0{,}6996\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Explicação curta (didática): a velocidade média é a vazão dividida pela área do tubo; isso dá a velocidade “média” com que o fluido atravessa a seção.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e interpretar:
  • Fórmula do número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade, V a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica.
  • Substituindo valores:
\mathrm{Re}=\frac{919\cdot0{,}6996\cdot0{,}0779}{40\times10^{-3}}\approx1251.
Didática sobre o que significa: \mathrm{Re} mede a razão entre forças inerciais e viscosas. Regimes comuns:
  • Escoamento laminar: \mathrm{Re}\lesssim2300.
  • Escoamento de transição: aproximadamente 2300\lesssim\mathrm{Re}\lesssim4000.
  • Escoamento turbulento: \mathrm{Re}\gtrsim4000.
Como \mathrm{Re}\approx1251<2300, o escoamento é laminar. Isso simplifica a escolha da fórmula para o fator de atrito.

Passo 4

Fator de atrito de Fanning no regime laminar:
  • Para escoamento laminar em tubo circular plenamente desenvolvido, a expressão exata para o fator de atrito de Fanning é
f=\frac{16}{\mathrm{Re}},
onde f é o fator de atrito de Fanning (não confundir com o fator de Darcy).
  • Explicação breve das duas convenções: muitas vezes livros usam o fator de Darcy f_D (também chamado \lambda); ele está relacionado ao fator de Fanning f por
f_D=4f.
Aqui o enunciado pede explicitamente o fator de Fanning, então usaremos f=16/\mathrm{Re} no regime laminar.

Passo 5

Calcular numericamente o fator de atrito de Fanning:
f=\frac{16}{\mathrm{Re}}=\frac{16}{1251}\approx0{,}01279.
Interpretação: este valor é adimensional e tipicamente entre 10^{-3} e 10^{-1} dependendo do regime; aqui é coerente com escoamento laminar moderado.

Passo 6

Cálculo da queda de pressão usando o fator de Fanning:
  • Fórmula relacionando queda de pressão e fator de Fanning para um escoamento em tubo: a forma conveniente é
\Delta p = 2 f \frac{L}{D}\,\rho V^{2}.
Derivação rápida (intuição): a forma habitual (Darcy-Weisbach) é \Delta p = f_D \dfrac{L}{D}\dfrac{\rho V^{2}}{2}. Como f_D=4f, substituindo vem \Delta p=2 f \dfrac{L}{D}\rho V^{2}.
  • Substituir números:
\frac{L}{D}=\frac{250}{0{,}0779}\approx3210{,}3,
\rho V^{2}=919\cdot(0{,}6996)^{2}\approx449{,}7\\ \mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}}.
Agora:
\Delta p = 2\cdot0{,}01279\cdot3210{,}3\cdot449{,}7\\ \mathrm{Pa}.
Calcule passo a passo:
2\cdot0{,}01279=0{,}02558,
0{,}02558\cdot3210{,}3\approx82{,}12,
82{,}12\cdot449{,}7\approx3{,}69\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto:
\Delta p\approx3,69\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}=36{,}9\\ \mathrm{kPa}.
Breve verificação da ordem de grandeza: para fluido relativamente viscoso e velocidade moderada em tubo longo, algumas dezenas de kPa são razoáveis.

Passo 7

Resumo e observações finais (motivação e dica para a prova):
  • Procedimento típico na prova: converter unidades, calcular A e V, calcular \mathrm{Re}, verificar regime (laminar → usar f=16/\mathrm{Re}; turbulento → usar Colebrook/Swamee–Jain para f_D e dividir por 4 para obter f), e então aplicar a fórmula de perda de carga correspondente (na convenção de Fanning usar \Delta p=2 f (L/D)\rho V^{2}).
  • Dica prática: memorize a fórmula f=16/\mathrm{Re} para laminar e a relação f_D=4f (Darcy ↔ Fanning). Sempre verifique a ordem de grandeza do resultado para não errar na casa de magnitudes.

Resposta

Fator de atrito de Fanning: f\approx0{,}01279
Queda de pressão ao longo de 250\\ \mathrm{m}: \Delta p\approx3,69\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}

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