Revolver as equações lineares de primeira ordem:
(sugestão: resolver x em função de y)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e sugere resolver
em função de
. As perguntas implícitas são:
- Encontrar a família de soluções
(isto é, expressar em função de ). - Indicar a constante de integração que aparece.
Informações relevantes dadas:
- A equação está escrita com derivada de
em relação a : . - A expressão do denominador depende linearmente de
(aparece ) e depende de funções trigonométricas de .
Passo 2
Trocar a variável independente: inverter a derivada para trabalhar com
como função de
. Como
, tem-se
Agora escrevemos essa equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em
. A forma padrão é
onde
e
dependem só de
. Reescrevendo a equação obtida:
Aqui, portanto,
e
.
Observação didática sobre equação linear de 1ª ordem:
- Uma equação linear em
tem a forma . - A técnica padrão é multiplicar por um fator integrante
; então a equação se transforma em , que integra diretamente.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Como
,
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
porque
. Assim
Integramos em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Resolver a integral do lado direito. Primeiro usamos
, então
Fazemos a substituição
, assim
e
. A integral fica
Agora integramos por partes
. Lembrando a fórmula de integração por partes
, tomamos
e
, então
Multiplicando por
obtemos
Voltando a
(ou seja,
), temos
Substituindo isso na expressão de
,
Passo 5
Isolar
dividindo por
:
Simplificando o termo
,
Esse é o resultado geral;
é constante arbitrária real. Observação final (verificação rápida): derivando
em relação a
e substituindo na equação original
obtém-se identidade, confirmando a solução.