Revolver as equações lineares de primeira ordem:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x \operatorname{sen}(y)+2 \operatorname{sen}(2 y)} (sugestão: resolver x em função de y)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x\operatorname{sen}(y)+2\operatorname{sen}(2y)}
e sugere resolver x em função de y. As perguntas implícitas são:
  • Encontrar a família de soluções x(y) (isto é, expressar x em função de y).
  • Indicar a constante de integração que aparece.
Informações relevantes dadas:
  • A equação está escrita com derivada de y em relação a x: \dfrac{dy}{dx}.
  • A expressão do denominador depende linearmente de x (aparece x\operatorname{sen}(y)) e depende de funções trigonométricas de y.

Passo 2

Trocar a variável independente: inverter a derivada para trabalhar com x como função de y. Como \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x\sin y + 2\sin 2y}, tem-se
\frac{dx}{dy}=x\sin y+2\sin 2y.
Agora escrevemos essa equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em x(y). A forma padrão é
\frac{dx}{dy}+P(y)\,x=Q(y),
onde P e Q dependem só de y. Reescrevendo a equação obtida:
\frac{dx}{dy}-\sin y\;x=2\sin 2y.
Aqui, portanto, P(y)=-\sin y e Q(y)=2\sin 2y.
Observação didática sobre equação linear de 1ª ordem:
  • Uma equação linear em x(y) tem a forma \dfrac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y).
  • A técnica padrão é multiplicar por um fator integrante \mu(y)=\exp\!\big(\int P(y)\,dy\big); então a equação se transforma em \dfrac{d}{dy}(\mu x)=\mu Q, que integra diretamente.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(y). Como P(y)=-\sin y,
\mu(y)=\exp\!\left(\int -\sin y\,dy\right)=\exp(\cos y).
Multiplicando a equação por \mu(y) obtemos
e^{\cos y}\frac{dx}{dy}-\sin y\,e^{\cos y}x=2e^{\cos y}\sin 2y.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dy}\big(e^{\cos y}x\big) porque \dfrac{d}{dy}e^{\cos y}=-\sin y\,e^{\cos y}. Assim
\frac{d}{dy}\big(e^{\cos y}x\big)=2e^{\cos y}\sin 2y.
Integramos em relação a y:
e^{\cos y}x=\int 2e^{\cos y}\sin 2y\,dy + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Resolver a integral do lado direito. Primeiro usamos \sin 2y=2\sin y\cos y, então
\int 2e^{\cos y}\sin 2y\,dy=\int 4e^{\cos y}\sin y\cos y\,dy.
Fazemos a substituição u=\cos y, assim du=-\sin y\,dy e \sin y\,dy=-du. A integral fica
\int 4e^{\cos y}\sin y\cos y\,dy = 4\int e^{u} u(-du) = -4\int u e^{u}\,du.
Agora integramos por partes \int u e^{u}\,du. Lembrando a fórmula de integração por partes \int a\,db = ab - \int b\,da, tomamos a=u e db=e^{u}du, então
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + \text{const} = e^{u}(u-1)+\text{const}.
Multiplicando por -4 obtemos
-4\int u e^{u}\,du = -4e^{u}(u-1)+\text{const}.
Voltando a y (ou seja, u=\cos y), temos
\int 2e^{\cos y}\sin 2y\,dy = -4e^{\cos y}(\cos y -1)+\text{const}.
Substituindo isso na expressão de e^{\cos y}x,
e^{\cos y}x = -4e^{\cos y}(\cos y -1) + C.

Passo 5

Isolar x(y) dividindo por e^{\cos y}:
x = -4(\cos y -1) + C e^{-\cos y}.
Simplificando o termo -4(\cos y -1),
x = 4 - 4\cos y + C e^{-\cos y}.
Esse é o resultado geral; C é constante arbitrária real. Observação final (verificação rápida): derivando x em relação a y e substituindo na equação original dx/dy = x\sin y + 2\sin 2y obtém-se identidade, confirmando a solução.

Resposta

x(y)=4-4\cos y + C e^{-\cos y}, onde C é constante arbitrária.

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